5(n-2) n同情御 aaoa.
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重要例題50 反復試行の確率 P, の最大
10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰
り返しくじを引くものとする。ただし,一度引いたくじは毎回もとに戻す。
n23 とし, n回目で終わる確率を P,とするとき
(1) Paを求めよ。
【類名古屋市大)
(2) Pが最大となるnを求めよ。
基本 45,47
CHART
OLUTION
Pn+l
2
確率の大小比較比
をとり,1との大小を比べる
P。
(2) Paが最大となるnの値を求めるには, Pn+1 と P,の大小を比較すればよい。
確率の問題では, P,が負の値をとらないことと, P.がnの累乗を含む式で表
Pn+1
されることから,比-
をとり,1との大小を比べる とよい。
P。
解答
(1) n回目で終わるのは,(n-1)回目までに2回当たりくじ
を引き,n回目に3回目の当たりくじを引く場合であるから
(2) Pn+1
{(n+1)-1}{(n+1)-2}
2
2
8
n-3
P.=aー-C()
2
4
1
10
10月
10
Paのnの代わり
にn+1とおいたもの。
2
(515
S (n-1)(n-2) /4 \-3
5
n-1)/4)n-2/
Pn
2
求め
4n
三
4.5点である確率 P(1), P(2), P3, P4), P(5) をそ
Pn+1
>1 とすると
Pn
*5(n-2)>0 であるから,
不等号の向きは変わら
ない。出
こS京出
P,の大きさを棒の高さ
5(n-2) 目
すなわち 4n>5(n-2)
これを解くと
n<10 。
Pn+1_1 とすると n=10
Pn
薬立共)
よって,3SnS9 のとき
45°
すッカ=10
11Sn
Pr+1
<1 とするとn>10
Pn
Pn<Pn+1,
で表すと
n から, 異
のとき
のとき
Pn=Pn+1,
最大
Pn> Pn+1
ゆえに P<P。く……<P。<P.o=P1, P1o= Pu>P1z>……
多の目本出目回
増加
減少
したがって, P,が最大となるnの値は
大にする自然数n
よ。
を当合の東求さー
n=10, 11
34
9
n
の合
1011
12
oo
bく、 Aい
