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重要 例 170 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用)
00
1 1
log(n+1) <1+
+
2 3
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
1
n
++ <logn+1
基本 165 169
指針 数列の和1+
+1/+1/
++
3
は簡単な式で表されない。そこで、積分の
n
りる。
すなわち, 曲線 y=
式を証明する。
1
XC
この下側の面積と階段状の図形の面積を比較し
自然数kに対して, k≦x≦k+1
1
1
解答のとき
1
I
k+1 x
k
式ア
k+1
x
常に1/2 または 1/2-2/2
=
x
k
ではないから
+1 dx
SSS
k+1
k+1
x
+1 dx
+1 dx
0 123/nt x
n-1 n+1
よって嘆く方
k+1
dx
1
<
x
k
+
SA's dx < 1/14
0
k
nch+1 dx
4-15k
*****E
<
"
Aから
x =k
n+1
* S** dx = S*** dx = [logx]***
x
であるから
x
=log(n+1)
log(n+1)<1+1/3+/1/23 + + 1/1
1
k+1 < ** dx
***
Cから
k x
kik+1
n
<
<
I
式イ
x
n-1
k=1,2
として辺々を加
©S+S+
#+1
-S •
0 123.n
①
nk+ dx
41154
ES*"dx =S"dx = [logx"=logo7***6
4-1
r
であるから
***
①
11.
a
+
として辺
...+
"1
