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例題 247 連続する整数の積,余りによる場合分け2
(1) nが整数のとき,2n°+3n?+nは6の倍数であることを示せ、水
K2).n, かを任意の自然数とするとき, nとn'*4 は一の位が一致するこ
とを示せ、
p+
ば
考え方
(1) 連続する3つの整数の積は6の倍数である。
(2) 2つの自然数の一の位の数字が一致する→2つの自然数の差が10の倍数
解答
(1) 2n+3n°+n=(2n+1)(n+1)n={(n-1)+(n+2)}n(n+1)
(n-1)n(n+1), n(n+1)(n+2)はともに連続する3つの整数の積である
るO から,その積は6の倍数である。
よって, 2n°+3n'+nは6の倍数である. -
(2) N=n*+4-n® とおくと, N=n°(n*-1)=n°(n-1)n(n+1)(n°+1)
さ会さるれ(n+1) は連続する2つの自然数の積であるから, 整数Nは2の倍数であ
る。
+(AS+8)8-1+
自然数nを5で割ったとき, 余りは0,1, 2, 3, 4のいずれかであるから、
自然数nは, 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4(kは整数)のいずれかの形で
表せる。
ここで,5k+3=5(k+1)-2 より,5で割って3余る整数は5k-2として
よく,5k+4=5(k+1)-1 より,5で割って4余る整数は5k-1としてよい。
(i) n=5k のとき,整数Nは5の倍数
(i) n=5k±1 のとき, n千1=5k となり, 整数Nは5の倍数
( n=5k±2 のとき, n'+1=(5k±2)?+1=5(5k?土4k+1)より,整数N
は5の倍数
(i)~より,すべての自然数nに対して,整数Nは5の倍数である。して、
したがって,整数Nは2の倍数かつ5の倍数であり,2と5は互いに素で
あるから,Nは 10 の倍数である。
よって, n°'+4_n°は10の倍数より, n*+4 と n° の一の位の数字は一致する。
Focus
連続する3つの整数の積は6 の倍数である
整数nを5つの型に分類
→ 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4 (kは整数)
または, 5k, 5k±1, 5k±2 (kは整数)
おケこン
