sl au 4G 8:26 ⑮⑪ イ 96% (王)
-般項が cg。ニ3w一2.6。ニ4一1 である2 つの等基数列 {fo。} 。 {5。} の共通項を
小さい方から順に並べてできる数列 c』} の一般項を求めよ.
2 つの等差数列の共通項
2 つの解法を示す. わかりやすいのは [| だが, 重要なのは [2 である.
軸 項を書き出し, 初項を探す.
公差は、 {c』} {5。} の数列の公差の最小公倍数 となる.
図 {q。} の第7 項と {6。} の第 yz 項が一致する 7。7z の条件 を求める.
cx 十6yーc型の不定方程式(整到問題) に帰着する.
tea: 1 4. 7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、 ーー
3.7、11、15、19、23、27、31、35、 ーー
よって. {c』] は初項 7. 公差 12 の等差数列である
ee ニ7ィエキ(ー1)・12ニ127 一5
数 12 の間隔で共通項が現れるはずである.
ggニム。 とすると 37一2ニ4mー1より 3一4ー1
よって 3(7二1) =4(十1)
3と4は互いに素なので 7+1=枯7二1=ニ3た(た: 整数)
ゆえに 7=ニ村ー1. 妨ニ3たー1 (た: 整数)
共通項は gak-ュー3(4ー1)一2=12たー5
ここで,7 = 1. 1 より,た1 である.
ca 三127一5
文字で一般化して求めているので, {c。} の一般項が厳密に求まる.
cz 十0y三c型 (o。 ちは互いに素) の不定方程式 の解法 (数/
まず、 何とかして整数解4 上す. 本問では, (。 m) ニ (1
元の方程式から探し出した整数解を代入したものを引き, 一方を移項3
37 ー 4 デ 1
ー) 3(-1) - 4(-1) 1 より 3(7+1=4(十1)
37+1) - 4m+D)ニ0
こうして, 『着する.
ge ちは互し ければならない.
マニ太と gた となる.
で
よって, 整数た を用いて,
