この画像の、二つ目の証明の上から2行目で、「pは素数であるから」って必要ですか？pが素数でなくても、余りは1,2,・・・,(p-1)になるような気がします。

X 次の定理をフェルマーの小定理という. を素数とは互いに素な正の整数とするとき, k²-1≡1(modp) 代 が成り立つ. ***** この定理を証明する前に次の定理を示しておこう. $700 ことを利用して、フェノ ME 083,4). このことを利 の こ 【証明】 正の整数aとbが互いに素のとき, 6,26, 36,46, ......, (a-1)をαで with+ 割った余りは,すべて異なる. ただし,α≧3 とする. Tors C VER 【証明】 , nは整数で, 1≦m <n<a として, a で割ったときのmbnb AEXUS の余りが等しいと仮定する. nb-mb=(n-m) はαの倍数であるが, αとは互いに素より、 ガウターがαの倍数となる.ところが, 1≦n-m<a-1 より,n-m 実はαの倍数にならないので矛盾する. WANSFORE す。 αで割った余りはすべて異なる. よって, (5 に濡れる SAR.. フェルマーの小定理を示してみよう. 用して, (証明終) k, 2k,..…...., (p - 1) k を』で割ったときの とは互いに素より, (1) 個の余りはすべて異なり, pは素数であるから, (-1) 個の余 りは, 1,2, p-1である. kx2kx......× ( p-1) k = 1×2×･･････X ( -1) (modp) つまり, (ヵ-1)!.k²-1=(p-1)!(modp)...... ① 85,48 素数と2,3,.…… p-1 はいずれも互いに素であるから, (-1)! 1000 (証明終) 4. -1 とは互いに素より, ①,11 (modp) 10% 0

問2から問4までの解説お願いします🙏

Reiwa Center Sports & Culture Programs Weekday activities From July 20th to August 27th Activity 1: Volleyball Monday, Thursday, Friday A Time 9:00 12:00 (s Practice hitting and receiving balls, ereds 19v and play games after that. Activity 3: Baseball id Wednesday, Thursday, Friday >)< 木 Time 13:00 - 16:00 Fees *fee # 1 activity : Practice playing catch and hitting 10 tuod Ted s'ai sennil balls, and play games after that. hirm us to t i in os all 3 activities:v $8 Activity 2: Music Monday, Tuesday, Thursday k 木 Der E$3 doo naje Time 9:00 - 12:00 Luoy.ai sids 89 90198 Activity 4: Art Tuesday, Wednesday, Friday "Ki 2 won 17 oli Time 13:00 - 16:00 Thesteni ades nomel beded, Draw pictures and fold paper to make now Practice playing musical instruments, DA UOOL and play on stage. on llomis dolls or animals. 2 activities: wen ed od 4 activities: siq aidquq $10baladrok LAORI JUMOSO9* bas When you come with your friends, you will get a 20 percent discount each. sigle (Rivili You have to make a call ahead to make an *appointment. *appointment ** Jml 08 82001 $5 YOM ladandTim You have to come to the Reiwa Center 15 minutes before the activity. 08 mpmal gdad sw.bluoda glad w bluode 001 misel of snew I foaisen wen ve vo Call the Reiwa Center at 333-123-654310 sig umug smor teg spinave edini nieque.edi 12 On what day of the week do they have no activities at the Reiwa Center? Joodse mot emod ten Hoy Roig blad of 2 If you join Activity 1 and Activity 3, how much should you pay? UO 3 If you have three activities with your friends, how much should you pay? NO 4 If you join Activity 4, what time do you have to come to the Riewa Center? Tanginot rannch ob tad

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、線引きした部分がなぜそのようになるのかわかりません。教えてください！！

例題 合同式の応用 [2] 2 任意の整数の3乗は,7を法として 0, 1, -1 のいずれかに合同で あることを証明せよ。 10 ◆証明 15 αを整数とする。 αを7で割ったときの余りは0から6までのいず れかになるが, 6-1 (mod 7), 5-2 (mod 7), 4-3 (mod 7) より, 7を法としてαは 0, ± 1, ±2, ±3のいずれかに合同である。 ここで, 7を法として α = 0 のとき α = 0 α=1のとき α = 1, α = -1 のとき a=-2のとき α =-8-1 α=3のとき d=27=-1, α = -3 のときα-27 1 よっては7を法として 0, 1, -1 のいずれかに合同である。 a=2のとき 3-1 d=8=1,

この3番の問題で、なぜ震源の深さが分かるのですか？ 震源からの距離はわかっているけど……🤔

2 地震に関する次の各問いに答えなさい。 ('11 佐賀県) 1 A地点を震央とする地震が発生した。 図1は、こ の地震で発生した地震の波を, A地点とB地点に 設置していた地震計で観測した結果を,それぞれの 地点がゆれ始めてからの時間を横軸として示した模 式図である。 これによりaから始まる小さなゆれ と, bから始まる大きなゆれの2種類があることが わかった。 図2は, A地点, B地点を含むこの地域 で発生した地震における, 震源からの距離とP波 50 とS波が到着するまでの時間との関係を表すグラ フである。 あとの問いに答えなさい。 図1 A 地点 (火) B地点 図2 震源からの距離 a a 0 源 40 20 離10 (1) 図2のcの時間のように, P波が到着してから [km] b 484176 2 4 6 8 10 12 ゆれ始めてからの時間 [秒] P波 ingred 4 「S波 I ウ震源からの距離 S波が到着するまでの時間を何というか、書きな 5 10 15 〔初期勢続問 地震が発生してからP波とS波が 到着するまでの時間 [秒] さい｡ (2) (1) 関係があるものとして最も適当なものを、次のア~エの中から1つ選び,記 号を書きなさい｡ C J ア マグニチュード イ 震度 (3) この地震の震源の深さは何km か, 書きなさい。 P波の強さ C mod 15km〕

(3)赤線を引いたところの式変形がよく分からないので教えてください。

例題264 合同式の利用(1) **** αは7で割ると3余る整数, βは7で割ると4余る整数である. このと き、次の数を7で割ったときの余りを合同式を利用して求めよ。 (1) α+2β (2) a³ (3) β50 考え方 解答 m, nを整数として, α=7m+3,β=7n+4 とおき, 代入しても求められるが, (3) の β50はそのままでは計算が大変である. そこで, 合同式の性質の利用する. 7を法とすると, (1) 2β=2×4=8=1 (mod7) より α+2β=3+1=4 (mod7) 4 α=3 (mod7), β=4 (mod7) よって, 求める余りは, (2) a³=3³ (mod 7) ここで, 3=27=6 (mod7) よって,ω≡6(mod7) より 求める余りは, 6 (3) β50=450(mod7) ここで, 450=(22)50=2100= (23)33×2 =833 × 2 81 (mod7) であるから, 1 833×2=133×2=2 (mod7) したがって, よって, 求める余りは, 2 50=45°=2 (mod7) a=b (modm), c≡d (modm) のとき, a+c=b+d (modm) を利用する. a=b (modm) のとき, a"=6" (modm) を利用する. 100=3×33+1 833=133=1 (mod7) 549

数学オリンピック対策に取り組んだ問題なのですが、ここのいっている意味がよくわかりません。わかる方お願いします🤲

解答 ロッカーの番号を -1 ずらして0番から1023 番のロッカーが並んでいると考える. 最初の往路で は、 二進法で表して末尾が0の番号のロッカーが開 かれ、帰路では末尾から2桁目が1のロッカーが開 かれる. 次の往路では、末尾から3桁目が0の帰路 では末尾から4桁目が1の番号のロッカーが開かれ 交互にあけていく →2進数の発想 解答 一般に,n=1,2,3,... に対する連立方程式 [ x² + x² + · · · + x ² = y³ [x³ + x² +\ ·+x²³² = ₂² 50.2 整数と実数 が、 無限個の整数解をもつことを示す. a1,a2,..., an を任意の相異なる自然数として, s = a² + a² + + a², t = a³ + a² + … + a²³²2 <. ここで mi = smtkai とおくと ← ??? 【基礎0.2.8】 (1985USAMO問1) 連立方程式 : x² + x ²/² + + 1² = 8²m+1₁2k (x³ + x²³² + ... · + 1²₁/12: = 83m43k+1 となる. そこで, s2m+142k = 13,83mt3k+1 = 22 (y, 2 はある正の整数) を満たすように自然数m,n を定め ればよい. そのためには, 2m+1= 2k = 0 (mod 3) と3m=3k+1 = 0 (mod 2) を満たしていればよい のだから, m=4 (mod 6) かつk = 3 (mod 6) であ ればよい. このように Ti, y, z を定めれば、問題の連 立方程式を満たす. (1²+1²+₁+2985 = y³ x³ + x² + +1985=22 を満たす正の整数 y, 及び相異なる正の整数 π1) 21..., 1985 は存在するかどうか判定せよ. 呼ばれる。 分母と分子が整数である分数として表せる数を有 「理数という. 有理数(分数) を小数で表すと, 有限小 数または巡回小数になる。 逆に有限小数や巡回小数 で表せる数は分数で表せる. 巡回小数でない無限小数で表される数を無理数と いう. 有理数と無理数をあわせて実数という. 【基礎 0.2.9】 (1989AIME 問3 ) n は正の整数, dは十進法で1桁の数で TL = 0.d25d25d25... 1810 となるという. このようなn を求めよ. 13 解答 与えられた方程式より 999n 810 を得る.この両辺を 810倍し,両辺を27で割ると, =100d +25

excessiveとmoderateには過度な という意味がありますが、違いはなんですか？

文章問題です💦 教えていただけると助かりますm(*_ _)m

22 Living in Several astronauts from different countries live and work on the International space there is no gravity. So life in space must be In Space Station (ISS). different from that on the Earth. There are some questions about the life in space. to ). How do astronauts stay healthy? They eat space food. It has plenty of (astronauts / healthy / keep / nutrition / There are many kinds of delicious foods these days. For example, Japanese astronauts have taken curry, nikujaga and mochi to the ISS. Also, getting exercise is important. Astronauts have to do exercises with machines Without gravity, their for about two hours every day. bodies become weak if they don't do exercises. How do astronauts take baths? In space, water is very precious and doesn't fall down. That's ( ℗ ) astronauts use very little water to wash their hair. They use a special shampoo and wipe it off with a dry towel. Also, they wipe their bodies with a wet towel. How do you feel about this lifestyle? Someday you also may be able to experience life in space. mod aswor A 下線部①の()内の語を, 意味のとおる英文になるように並べかえなさい。 It has plenty of B②の()内に入る適切な語をア~ウから選び,記号を書きなさい。 what who why C 本文の内容にあうものに あわないものに×を書きなさい。 1 宇宙食には種類がたくさんあるが, 日本食はまだない。 2 宇宙飛行士は毎日約2時間, 機械を使って運動をする。 3 宇宙空間では水が乾かないため, 風呂に入ったり, シャワーを浴びることができない。 Notes astronaut space food wipe... off ･･･をふき取る ISSでトレーニングする 油井亀美也さん nutrition ** International Space Station 国際宇宙ステーション fall down 落ちる lifestyle #t precious 貴重な wet ぬれた towel タオル gravity ジュニア

2022＾2022を10で割った余りを教えてください。 (mod10)

解説を見ても分かりません。 簡単に、効率よくとける方法はありますでしょうか？ よろしくお願い致します。

② 赤、白、青の3色の玉が1つずつ袋に入っており、赤を2点, 白を3点, 青を6点とします。 Aさん, Bさん, Cさんが同時に手を入れて、 1つずつ玉を取り、色を調べて元に戻すゲームを何 回か繰り返したところ, Aさん、Bさんともに合計が36点になりました。 また, Aさんは2色の玉 の合計の個数が同じになり, Bさんは白ともう一色だけの2色になりました。このとき,以下の問 に答えなさい。 ANGO5E1241 A 問1. ゲームが行われた回数で,考えられる場合をすべて答えなさい。 例えば、2回と3回が考えら れる場合は,解答欄に2,3と記入しなさい。う ま 民 問2.Cさんが取り出した,赤,白,青の玉の個数を(赤、白、青) の形で,考えられる場合をすべて 答えなさい。 例えば,赤玉6個, 白玉6個、青玉1個のときに、 解答欄に (6, 6, 1) と記入しなさ √√²✰✰✰MŠÁTKO, LAIS