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例題 18 ベクトルと
次の不等式を証明せよ。
思考プロセス
(1)-ab≤ab≤ab
****
(2)|a|-|6|≧|a+6|≧|al+6
(1)allalbを示したい costの範囲から考える。
←これが成り立つのは|a|≠0 かつ16 ≠0のとき
allolcosa
(2)式を分ける 問題 [1] [2] に
に分けて示す。
[1] la+のままでは計算が進まない]
両辺ともに正である
20
MAX
(右辺) (左辺) ≧0 を示す。
[2] [1]と同様に考えたいが, (左辺)=la|-6|は正とは限らない。
(I)
TAA
« Re Action ベクトルの大きさは, 2乗して内積を利用せよ 例題13
(MA+MAIS
noibA
(1) (7) à ± ō ² 6 +
とのなす角を0とすると -1 cos≤ 1
300-ab≤ab cost≤ab
8=58-160MA (1)
よって
-ab≤ab≤ab
(イ)
= 0 または = 0 のとき
丼にする。
a•6=0, |a||6| = 0 より-106=0.6=|a||6|
(ア)(イ)より -ab≤ab≤ab AA
(2)[1] la +6 ≦ | + 16 を示す。)=(a+
(|a|+|6|22|a+62
15+31
=(1012+2|4||6|+162)-(1012+26+16)
=2(ab-a-b)≥0
〒154-よって, la +62 =(a+16)であり,lal+16 ≧ 0,
a +60 より
a+b≤a+6
[2]|a|-|6| ≦ la + 6| を示す。
(ア) 4-60 のとき,明らかに成り立つ。
() a-16 ≧0 のとき
M
0081=OMAX
a+b2-(a-6)²
=(al+20-6+16)-(1012-2016+162)
M=2(a+b+ab)≥0
中
MAS-
よって,(12-16)2la+6であり,la+6≧0
(ア)(イ)より
AACH
すべて値は 0
ABRIACI
左辺,右辺ともに0以上
であるから
(右辺)2-
示す。
AB-ACT
(左辺)20を
(ABALY
√(1) b ab≥ a ⋅ b
(右辺 =
る。
で
であ
=a+b20
(い
左辺,右辺ともに0以上
であるから,
(右辺) (左辺) 0 を
これは,(1)の
a-b≥-ab
を利用している。
|a|-6|≧0 より|a|-161 ≦ la +6 DA +7.1は正とは限らないか
[1], [2] より
a-b≤a+b
a-b≤ab≤a+b
■ 18 次の不等式を証明せよ。
(1)の誘導がない場合
には自分で証明する必要
がある。
(1) ab+b.c+ca≤ a+b²+c² 2 2a-36≤2a+36≤2
f
