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基本 例題 106 約数の個数と総和
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(1) 360 の正の約数の個数と、 正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
(2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数n を求めよ。
[(2) 慶応大]
(3) 56の倍数で, 正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。
指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解が N = pagere…..... となるとき
正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)......
EO
(1+p+p²+…+pª)(1+g+q²+…+q¹)(1+r+r²+…+r²).......
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
(1) 上のNが2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは
2.gº.y....... (a≧1,6≧0,c≧0, … ; g, , ... は奇数の素数)
1+ の部分がない。
と表され,
その総和は (2+22+..+2°) (1+g+q²+ +q°)(1+r+y^+..+rc)...
を利用し, nの方程式を作る。
(2)
(3) 正の約数の個数15を積で表し, 指数となる a, b,
の値を決めるとよい｡
15 を積で表すと, 15･1, 53 であるから, nは15-11-1 または'-'g3-1の形。
p.468 基本事項 ④4
←P, 4, Y, ··· は素数。
解答
(1) 360=232.5であるから, 正の約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24 (個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
pg're の正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1) (p,g,r は素数)
の形で表される。
nは56の倍数であり, 56=23･7であるから, nはP2 の形
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=24.72=784
<
素数のうち,
偶数は2の
みである。
(2+2+2)(1+3+3)(1+5)=14・13･6=1092
(2) 12"=(2･3)" = 22" 3" であるから 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a")"=a"
であるための条件は
(2n+1)(n+1)=28
よって
2n²+3n-27=0 ゆえに (n-3) (2n+9)=0
nは自然数であるから n=3
(3)の正の約数の個数は 15 (=15.1=5･3) であるから, nは
または pq2 (p, g は異なる素数)
積の法則を利用しても求め
られる (p.309 参照)。
m
のところを 2nn とし
たら誤り。
15･1から 15-101-1
5･3 から
3-1
の場合は起こらない。
<p=2, q=7
