重要 例題 61 2次式の因数分解 (2)
4.x2+7xy-2y²-5x+8y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるように,
定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大 ]
CHARTO SOLUTION
2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用
(与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみたとき (yを定数とみる), 判別
式を D, とすると, 与式は4{x-(7y-5)
- (7y-5)+ √D₁}{₂
-(7y-5)-√D₁
x
の形
8
8
に因数分解される。D1はyの2次式であり,このときの因数がx,yの1次式と
なるための条件は √ⅤDがりの1次式⇔ D1が完全平方式
すなわち Di=0 として, この2次方程式の判別式 D2 が 0 となればよい。
解 答
与式) = 0 とおいた方程式をxの2次方程式とみて
1
4x²+(7y-5)x- (2y²-8y-k)=0
判別式を D とすると
......
D=(7y-5)2+4・4(2y²-8y-k)=81y²-198y+25-16k
三式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は、 ① の解
yの1次式となること,すなわちDがyの完全平方式とな
ことである。
| 基本 20 46
■2=0 となればよいから 96 +16k = 0
よって k=-6
このとき, Di=81y²-198y+121=(9y-11) であるから,①
解は
inf 恒等式の考えによ
解く方法もある。 (解答
および p. 55 EXERCISE
15 参照 )
D が完全平方式 ⇔
2次方程式 D=0が
解をもつ
= 0 とおいたyの2次方程式 81y²-198y+25-16k=0 の
別式をD2 とすると
D2 =(-992-81(25-16k)=81{112-(25-16k)}=81(96+16k)計算を工夫すると
4
992=(9.11)2=81・11°