NA
(2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a,0), B(0, b) を結ぶ線分
AB (両端を除く)の上の格子点 (x座標、y座標がともに整数である
点)の個数は,α,6の最大公約数をcとすると, (c-1) 個であること
を示せ.
考え方 (1) まず, ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える.
(2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数 cを考える.
沖縄
解答
(1) y=√3x(有理点(0, 0)のみ通る)
(証明) (0, 0) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を
るとすると, yo=√3xo
このとき,√3=Mとなり,√3が有理
数となるので矛盾する.
Xoy
よって,(0, 0) 以外の有理点を通らない.
xC
(2) 線分ABの方程式は, -+%=1 (x>0, y>0)
a
α, 6 の最大公約数はcであるから,
a=ca'
|b=cb'
とおける.これをAB の方程式に代入して,
一十 =1….... ① より,
TOTU
b'x
y
ca' cb'
-+y=cb'
Buď Fron
b'x
右辺は整数,yは整数より,
a'
B'は互いに素より, xはα'の倍数, すなわち,
x=ka' (kは自然数)
とおける.同様に, y=lb' (lは自然数)とおける.
これらを①に代入すると,
(α′,6′は互いに素な自然数)=
背理法で示す.
Xo, yo が有理数より,
yは有理数
Xo
線分なので, x,yの範
囲に注意する.
YA
0
B (0,6)
A(a,0)
k+l=c.......②おるよな自分
も整数で,α と 分数のところに着目す
る.
⑤ その他=1より,
C
C
②を満たす自然数の組 (k, l) は,
(1, c-1), (2, c-2),
(c-1, 1)
よって,題意を満たす格子点の個数は,(c-1) 個
である.
注) (2)の結果より, a, bが互いに妻のとき,線分 AB 上には格子点が存在しない。
XC
