問
188 第7章 数 列
124 2 項間の漸化式 (ⅢII)
a=1, an+1=3an+4n (n≧1) で表される数列{an}がある。
(1)an+2n=bm とおくとき, bm, bn+1の間に成りたつ関係式を
求めよ.
(2) bn を求めよ.
(3) an を求めよ.
an+1=pan+qn+r (p≠1) ･････①型の漸化式の解き方には次の
3通りがあります。
精講
I. an+an=bnとおいて, bn+1=pbn+α型になるように,αを決める
II. an+an+β=b, とおいて, bn+1=rbn 型になるように,α,βを決める
II. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r
②
を用意して ②- ①を計算し,
an+1-an=bn とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ
この問題では,I を要求していますので, II,ⅢIの解答は を見て下さい。
解答
(1) an=bn-2n, an+1=bn+1−2(n+1) だから, これらを与式に代入して
bn+1−2(n+1)=3(bm-2n) +4n
∴.bn+1=36n+2
(2) bn+1=36+2 より 6n+1+1=306+1)
ゆえに, 数列{bn+1}は,
2 初項 b1+1=(a+2)+1=4,公比3の等比数列.
よって, bn+1=4・3″-1
bn=4.3-1-1
(3) an=bn-2n=4.3" -2n-1
参考
(その1) (ⅡIの考え方で)
an+an+β=bn とおくと,
an+1=pan+q 型
与えられた漸化式に代入して
bn+1-α(n+1)-β=3(bn-an-β)+4n
<α=3a+2 より
α=-1123
an=bn-an-β, an+1=bn+1−a(n+1)-β
∴.bn+1=36+(4-2a) n-2β+α
ここで, 4-2a=0, -2β+α = 0 をみたす α,Bは,α=2,β=1
よって, an+2n+1=bn とおけば, bn+1=36, b=4
