解析学つまずいてます助けてください

問題1n=1,2, に対して,A, = (-1-1/n,1-1/n) CR とおく、以下の集合を求めよ。 1. U A。 3. Un A。 =1 m=1n=m 2. 4.存在する場合には, lim An. n=1 1→

なぜこうなるか教えてください！

47 1 (2) lim-4" =lim n -1 n→0 n→ 0 -1 4 より,-1に収束する。

線で囲った部分って右側微分と左側微分すれば良いので微分の定義を利用して解かなくても減点対象や、他の問題で不都合な点が出てきたりしないですか？

第5章 微分法 |191 PR x>1 のとき f(x)= 2x+6 xS1 のとき f(x)=x°+1 である関数 f(x) が, x=1 で微分係 0128 数をもつとき, 定数a, bの値を求めよ。 [防衛大) 関数f(x) が x=1 で微分係数をもつとき,f(x)は x=1 で|微分係数をもつ 連続である。よって →連続 ax+b lim x-1+0 X十1 逆は成り立たない。 x=1 で連続であること から, aとbの関係式を 導く。 800 = lim (x°+1)= f(1) x→1-0 ax+b ここで, lim a+b 2 x→1+0 X+十1 20|e lim(x°+1)=f(1)=2 であるから )tie+ (nie)= x→1-0 a+b -=2 ehoie+o a a+b=4……D よって 2 ロ必要条件 ハuナh)-f(1) h また lim = lim 口右側微分係数 h→+0 h→+0 ん atah+b-2(2+h) h(2+h) a-2_a-2 = lim (a-2)h+a+b-4 = lim h(2+h) h→+0 h→+0 = lim h→+0 2+h 2 TOから a+b-4=0 lim = lim 日左側微分係数 h h h→-0 h→-0 h?+2h = lim h = lim (h+2)=D2 h→-0 h→-0 a-2 -=2 2 したがってf 合 lim NTLYの条件は h h→+0 代るあ ..f(1+h)-f(1) lim よって a=6 h このとき,Dから h→-0 6=-2 コ必要十分条件 T l e PR 次の閉数を微分せ上 右だ」 4定始とする

この計算がわかりません。答えは−∞です

23 lim 2→2-0 2-2

この問題がわからないです 出来れば解説もお願いします

5.3 数列{an}は次によって定められている。 a」= -5, an+1=Van+6(n=1, 2, 3, …) (1) すべての自然数n に対して -6SanM3が成り立つことを示せ、 (2) すべての自然数nに対して|an+1-3|<-lan-3|が成り立つことを示せ、 (3) lima, を求めよ。 n→0 12) 22m よって、 n S. 区 836

この問題がわからないです 出来れば解説もお願いします

5.3 数列{an}は次によって定められている。 a」= -5, an+1=Van+6(n=1, 2, 3, …) (1) すべての自然数n に対して -6SanM3が成り立つことを示せ、 (2) すべての自然数nに対して|an+1-3|<-lan-3|が成り立つことを示せ、 (3) lima, を求めよ。 n→0 12) 22m よって、 n S. 区 836

波線の意味がよくわからないので教えてください。

1より小さいn個の正数の職 ☆のkが定数でないと 簡単には解くことのできない2項間の漸化式 an+1=f(am)の極限値を のた、前問のように視覚に頼らないとすれば、2つの方法があってここで 第1の方法を紹介しよう、(次の 5. が第2の方法) であることを Z+1-as(z,-a) 3 2n 2n-1.2n-2 2n+1 2n 2n-1 n+1 は で、n→ 0のとき ます, 3. の方法などにより極限値αを予想し,与えられた漸化式から Tan+1-alskla,-al. kは0sk<1である定数 2n+1 は収束しない(1/2 に収束) 考えると,☆のe は“定新 いと,an→a(n→ )と できない。 ■入試では 本間のように,とりあえも の形の不等式を導く. すると, 0Sla,-alS"-1リa-al an→a(n→ 8) であるから,はさみうちの原理により, la,-al0 【解答) 等式を証明させる問題が 『If(z)|の最大値をMと a=f(a)によって定める。 値の定理により、 a>1 により,Z」=azVa また,あきらかに Z>0であるから,相加·相乗平均の不等式により, a -=Va a Te+1= If (a,)-f(a)|<M\a よって,つねにZ,w{aである. 次に, 2 Ei, t :. lan+1-aSMIla,- という流れの問題も少なく ちろん, M<1を示すこと トになる。 2 a In 3 エa+」ーa(-) 32,2 3 1 a 3 3エn であるから,確かに ~が成り立つ。この~~を繰り返し使うことにより, 2 \n-1 0Sエ,-as 3 よって,はさみうちの原理により, lim(z,-Va)=0 .:. limz,=a n→0 n→0 X 5. 解けない漸化式と極限(2) 漸化式a,=2, 2an+1Qn=a,?+2 (n=1, 2, …) で定められる数列 {a,} を考える。 (1) an2V2, an+1Sa, (n=1, 2, …) を示せ。 (2) lima,=V2 を示せ れーO 【Point】前問のPoint の☆のkは, anニ¥2 を示したあと, a+2-2/2a,_aュー 「教科書にはないが 左の定理は教科書に ,-12 20m によってk=1/2ならよいことがわかるが, kが与えられていないときは, 単調で有界な数列は収束する (rp.24) という定理に目を向けよう. an+1=f(an)で定める数列 {a,} が収束することか 覚的に明らかなので, ても減点されることに an+1-V2= 2a。 ■前問の傍注の手法 2 エ+ いえたなら, その極限値αはα=f(α) をみたすことから, αを具体的に求める について,げ(エバー ことができる。 【解答】(1) 明らかに a,>0 (n=1, 2, …) であるから, はうより小さいの an 1 an 1 an+1= 2 =(2 2 : a,22 (n=2, 3, …) an an 84

波線部分の式変形の仕方が分からないので教えてください

4. 解けない漸化式と極限(1) a 2.2,+ 2 Cn ニ 2」=a(a>1), In+1 (類,鹿児島 3 n→0 ーVas(エ,-Va)であることを示し, limz,を求めよ。 Cn+1 ☆のkが定数でないと 1より小さいn個の正数の有 2n-1 2n-2 【Point) 簡単には解くことのできない2項間の漸化式aの+13f (an)の極限値を 求めるのに,前問のように視覚に頼らないとすれば, 2つの方法があってここで 第1の方法を紹介しよう. (次の5.が第2の方法) まず, 3. の方法などにより極限値αを予想し, 与えられた漸化式から 2n 2n+1 2n 2n-1 n+1 は 2n+1 で,n→ oのとき は収束しない(1/2に収束) 考えると,☆のえは “定 いと,an→ a(n→ ) できない。 ■入試では 本間のように,とりあえ 等式を証明させる問題 『If'(z)|の最大値をM α=f(a)によって定める 値の定理により, If(a,)-f(a)|<MIc . lan+1-a|<M\a という流れの問題も少た ちろん, M<1を示すこ lan+1-a|Sklaォーal, kは0<kく1である定数 の形の不等式を導く. すると, 0Sla,-a|S"-la,-al →a (n→co) であるから,はさみうちの原理により, Iam-al→0 【解答) また, あきらかに Iル>0であるから, 相加· 相乗平均の不等式により, an a>1 により, z;=azVa a a Ce+1 .2."c /8z ={a 三 3 2 2 よって, つねにx,NVa である. 次に, 2 2月+1一as(エ,-) 2 a 2 32,2 n 3 3 1 -ハ小のん a 3 a 3エ トになる。 2 であるから,確かに~が成り立つ,この ~を繰り返し使うことにより, n-1 0S2,-as)(z)-Va) 3 よって,はさみうちの原理により, lim (x,-Va)=0 .. limz,={a n→0 n→0

積分の問題なんですが(2)が分かりません。どう評価していったらいいのでしょうか？

(1)整数 kに対して、J-1) -31x |sin cf° 【2】 自然数 nに対して,I, = dx とおく. NT kT 1 (1)整数kに対して, |sin.cP (k-1)T sin af dx 2 3 |log| 4 (2) lim I, 5 T n→0

2枚目の解説で、右側に書いたように計算したらだめな理由を教えてください。

必編 258. 〈定積分で表された関数〉 nを自然数とする。 x, yがすべての実数を動くとき, 定積分(sin (2nt)-xt-y)'dt S( の最小値をI,とおく。 極限limI, を求めよ。 [19 九州大·理系] n→ 0