問題 233 10本のくじの中に2本の当たりくじがある。 当たりくじを2回引くまで繰り返しくじを引く
ものとするとき, n回目で終わる確率を最大にするnの値を求めよ。 ただし, 引いたくじ
は毎回もとに戻すものとする。
このくじから1本を引くとき,当たりくじを引く確率は1であり,
また, n≧2である。
5
n回目で終わるのは, n-1回目までに当たりくじを1回引き, n回目
で当たりくじを引くときであるから
n-2
pn
= n-1C₁
(1)(1)
1
4-2(n-1)
>
×
5
5"
n-
1C1=n-1(n≧2)
A
n≧2において, Pn+1 と n の比をとると
Dn+1 4"-1 n
Pn
=
5n+1
4-2(n-1)
そのでき事が
5"
一番起こりやすい確率
n
=
n-1
4n-1.5n
4n-2.5n+1
4n
=
門
4"-1 4"-2.4
5(n-1)
4"-2
(ア)
Pu+1 1 のとき
4n
≧ 1
Pn
5(n-1)
42-2
5(n-1)>0である。
=4
4n≧5(n-1) であるから
n≤5
よって, n=2, 3, 4 のとき
Þn <Þn+1
n=2のとき
n=5のとき
ps = P6
n=3のとき <b
Dn+1
n=4のとき
D4 <Do
(イ)
<1のとき n>5
Pn
n=5のとき Ds=bo
よって, n = 6, 7, 8, ･･･ のとき
Pn> Pn+1
n=6のとき Do
(ア)(イ)より
D<D<pa<Ds, Ds= Do, Do>>Do>・･･
n=7のとき D7D8
したがって, D を最大にするnの値は
n = 5, 6
