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重要 例題 96 複素数の極形式 (2)
次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角010≦0<2πとする。
-cosa+isina (0 <α <π ) (2) sina+icosa (0≦x<2)
偏角の範囲を考える
0000
・基本 95
既に極形式で表されているように見えるが,r(cos+isin) の形ではないから極形
指針
式ではない。 式の形に応じて 三角関数の公式を利用し, 極形式の形にする。
(1)実部の符号 - を + にする必要があるから, cos (π-0)=-cosA を利用。更に
虚部の偏角を実部の偏角に合わせるために, sin (π-0)=sin0 を利用する。
(2) 実部の sin を cos に, 虚部の cos を sin にする必要があるから,
cos(7-0)=sinė, sin(7-0)
0 =cose を利用する。
2
また,本問では偏角 0 の範囲に指定があり, 002 を満たさなければならないこと
注意。 特に(2)では, αの値によって場合分けが必要となる。
CHART 極形式 (cos+isin) の形 三角関数の公式を利用
(1) 絶対値は
(-cosa)+(sina)=1
-cosa+isina=cos(π-a)+isin (π-α)
cos(-b)=-coso
sin(0)=sin0
3章
1 複素数の極形式と乗法、除法
解答
また
①
0<<より,0<π-α <πであるから,①は求める極
形式である。
偏角の条件を満たすかど
うか確認する。
(2) 絶対値は
(sina)²+(cosa)² =1
058527
また
ここで
π
sina+icosa=cos|
cos(-a)+isin(-a) cos(-9)=sine
Ome のときであるから,求め <2mから
2
る極形式は
sinaticosa=cos |
π
a
ゆえに, αの値の範囲に
よって場合分け。
sin(-)-cos
o
π
<<2のとき,偏
2
(-a)+isin(-a)
π
3
<α <2のとき
π
2
<
-a<0
2
2
各辺に2を加えると、1/11/22であり、
52
-π
5
COS
oly
なお
s(-a)= cos(-a),
COS
sin(-a)-sin(-a)
よって, 求める極形式は
sina+icosa cos(-a)+isin(-a)
角が0以上2 未満の範
囲に含まれていないから,
偏角に2m を加えて調整
する。
COS (+2nz)=COS
sin(+2nx)=sin
[n は整数]
練習 次の複素数を極形式で表せ。 ただし、偏角0 は 002 とする。
396 (1) cosa-isina (0<a<x)
(2) sina-icosa (0≤a<2π)
PP
