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を考える。
250) I
に続く)
の
らく
(2)
8 媒介変数表示 / 接線など
(左ページの例題の続き)
(2) (1)の点P(20-sin0, 2-cose) (0<0. <2ヶ)における曲線Cの法線とx軸との交点をQ
とする。 線分PQの長さが最大となるような点Pの座標を求めよ.
(3) 曲線Cとx軸, 2直線x=0, x=4zで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の
体積を求めよ.
(お茶の水女子大・理
0
解答
P(20-sin0, 2-cosl) を (x,y) とおく.
dr
サイクロイドでよく出る問題
do
=22㎡2
曲線の長さといった設問が多い。
おくという程度でよいだろう.式の形を一度は見ておこう.
=
2π
dy
dy/do sin0
dx dx/do 2-cos 0
法線PQ の傾きは,
=2-cos0.
dy
do
= sin0より
2-cos0
sin
2
dx
2
[**лy²dx=²* xy² de do=x_
do
似たような式が出てくるので,このうちのいくつかを実際に計算して
サイクロイドなどの曲線では, 接線・法線,面積. 回転体の体積,
(0= π)
よって, Q(q, 0) とすると, PQ の傾きについて
であり, y=2-cos0 だからg-x=sin0
PQ=√sin20+(2-cos0)2=√5-4cos0
..
0のときはP (2π, 3), Q(2π, 0) だから PQ=3で,このときも ①は成り立
っ.①で-1≦cos0 <1なので, ① は cos0=-1(0=z)のときに最大になり,
そのときの点Pの座標は (2,3)
(3) 求める体積は,
=x"{8+3(1+cos20)}d0=r110+
YA
1
O
o-y
9-x
- 2π
d0=xf"" (2-cose)2 (2-cosd)do
=z/" (8-12cos0+6cos2d-cos30)d=™」。"(8+6cos²0)dl
0
IC
8
=x[110+ 2 sin 2017
3
-sin20
JO
2-cos
sin
■このような問題では,
dx
do
47 x
=yとなることが多い。
←PQ=√(q-x)+y2
←「微積分編」 p.132 を
Y = coseのグラフ(
cos A, cos30 の積分
とがわかる.
TC
+-----
S
