例題44 係数に虚数を含む2次方程式の解
xの2次方程式(1+i)x2+(a-i)x+2(1-ai) = 0 が実数解をもつとき、
実数の定数αの値を求めよ。 また, そのときの解をすべて求めよ。
まんす
(慶應義塾大)
考え方 係数に虚数を含むので, 判別式は使えない.
mmmm
実数解をrとすると,もとの2次方程式は、院内
(1+i)r²+(a-i)r+2(1-ai)=0
解答
この左辺を A+Bi=0 (A,Bは実数) の形に変形すれば
A=0, B=0 である. (p.81 「複素数の相等｣ 参照)
この2次方程式の実数解を x=r とすると
(1+i)r²+(a−i)r+2(1-ai)=0
(r²+ar+2)+(r²—r−2a)i=0
r, a は実数だから.
J> [r²+ar+2=0
²-r-2a=0
① ② より.
(a+1)r+2(1+a)=0
F1J (a+1)(r+2)=0
(ii)
・①
2
したがって, α+1=0 または r+2= 0
(i)a+1=0 つまり, α=-1のとき
① に代入すると,
r2-x+2=0
ここで, 判別式 D=(-1)²-4・1・2=-7<01-
rは実数であるから、不適
+2=0 つまり, r=-2のとき
に代入すると,
①
話
②も満たす.
A このとき, 与式は,
41633-4645 (1+i)x²+(3-i)x+2(1-3i)=0
よって, (i), (ii) より,
[(x+2){(1+i)x+(1-3i)}=0
したがって. x=-2, 1+2i
4-2a+2=0 より,a=3
⁰2
α=3, そのときの解x=-2, 1+2i
$25 12
***
<複素数の相等>
$15
A,Bが実数のとき
A+Bi=0
⇔ A=0, B=0
実部と虚部に分ける。
r2+ar+2, r²-r2a
は実数
a,bが実数のとき,
a+bi=0
a=0, b=0
αとの連立方程式
を消去して次数を下
2cm
それぞれの場合について
もとに戻って調べる.
実際に解くと,
>1-1± √7i
y=-
2
①,②ともに満たすこ
を確認する.
r = -2 つまり, 左辺
x+2を因数にもつ。
(1+i)x+(1-3i)= 0
(1+i)x=-1+3i
-1+3i
1+i
x=-
-=1+2i
