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別興ム(慟哭するための tan の条件を, vo を含まない式で表せ。
(北海道大改)
例題 5
Vo
h
物理 やや難
53. 高さ制限のある斜方投射■重力加速度の大きさを
g として,次の (
に適切な式, 数値を入れよ。
H
OK
L
→P
高さHの天井がある部屋で, 床の点Oから小球を投
射して, 天井にあてずに距離Lはなれた点Pに落下さ
せるための、初速 ひ の最小値について考える。 投射
角を0とすると, L = ( 1 ), 最高点の高さんは, h = ( 2 ) と表せる。 天井を無視
して考えると, (1) から, 0 ( 3 )のときに, vは最小値 ( 4 ) となる。このとき,
最高点の高さんは,h= ( 5 )となるので, H> (5) の場合は (4)が解となる。 H≦ (5)
の場合は,小球が天井すれすれを通るときに最もを小さくできる。 h=Hとすると
(1) (2) から tan0= ( 6 6 )となり,ひ の最小値は ( 7 ) となる。
を用
ヒント
51 (3) 小球が水平方向に距離αだけ進んだとき, 高さがんよりも大きければよい。
52 (2) 小球Bが、時間tの間に斜面に沿って移動した距離を求める｡
53 (1) 2sincose=sin20 の関係を用いて, 式を整理する。
(3) (1) の式をv について整理し, v が最小になる 0 の条件を求める｡
んの式をもとに tan0の値を導き, sine の値を調べる。
解説 (1) 小球は,鉛直方向には初速度 vosine の鉛直投げ上げと同
じ運動をする。 鉛直上向きを正とし, 小球の飛行時間をt とすると,
鉛直投げ上げの公式y=uot-212912 を用いて,
0=vosin0.t- -1/20120-1(2sine-1/20t)
0=t(v.
t=0 なので, t=
2v, sine
g
水平方向には、速度 vo cos の等速直線運動をする。 OP間の水平距
離Lは,飛行時間tを用いて, v Coset となるので,
L=vocoset=vocose・・
2v, sine 2v,² sin cos
g
vosin20
g
….①
g
(2) 最高点の高さんは, 鉛直投げ上げの公式v=2gy を用いて,
02-(vosine)2=-2gh h=
vo² sin²0
2g
...2
(3) (4) 式 ① から,
gL
と表される。 v は, sin20 = 1, すなわ
sin 20
ち, 8=45°(20=90°) のときに最小値 √gL となる。
(5) 式 ②0=45°, vo=√gL を代入して
h=
(vgL)2 sin245° L
2g
4
(6) 式 ① から, L=
2v 2 sinocose
g
vo² sin²0
式 ② でん=Hとして, H=
2g
4H
H tan
4
tan0=
これら2式の辺々を割ると,
L
L
4H
(7) (6)のL,H, 0 の関係は,図のようになり, sin0=
√L²+(4H)²
Vo =
√2gH
sin
式 ④を vについて整理して,
g(L²+16H²)
8H
0
●小球の鉛直方向の運動
をもとに飛行時間を出す 54.
(水平距離) (初速度の
解
水平成分) × (飛行時間)
である。
三角関数の公式
2sinocos0= sin20
を用いている。
●最高点では,速度の鉛
直成分が0となる。
sin 20 の最大値は1で
ある｡
tan を求めるため,
式①で sin 20 に変形す
る前のものを用いている。
√L²+(4H)²
4H
0
L
4H
図は, tanθ=
L
る三角形を示す。
とな
