C1.11 次の不等式を証明せよ.ただし, (1) は例題 C1.11 の結果を用いてもよい。
(1)
a+b+c≤lal+161+1cl
EV
(2) (7) a²+1²+1c1²≥a·b+bc+ca
RODE
(a=b=c023)
(1) a+b+cl²23(a·b+bc+c·a) (lt a=b=c023) -
C1.8
(1) 例題 C1.11 (2) の結果より、 1+1+1+1g
(a+b+cl sla+b+cl slal +16+Iclode
+6
|a +b+c] ≤|a|+|b] + [c]
よって,
(2) (7) a² +6²+1c1²-(a·b+b⋅c+c·a) +
={2|a|²+2|6|²+2|c|²-2(a·b+b•c+c·a)}
=1/12 ((112-20-5+1612)+(1612-26・C+112)
か
+(c²-2c a+|a|²)}
=1/12(1-62+16-22+12-21220
よって, |a|2+1612+10/22a・b+b・c+c・a
等号は, a = 0 かつ-c=かつ
ca = 0, すなわち,a=b=cのとき成り立つ.
(イ)(ア)より,
(a+b+c²°) (a+b+c)_ \a+b+cl²
にアプ
= lal²+161²+|c|²+2a·b+26•c+2c a
-
例題 C1.11 (2) と同様に
(al+b+c)²-la+b+cl²20
を示してもよい。
2016*
(x,y,zが実数のとき,
x² + y² +2²20
等号は、x=y=z=0のとき
成り立つ
| (x+y+z)
=x+y+2+2xy+2yz +
と同様に展開する.
