例題 268 等差数列と等比数列の共通県
初項2, 公差3の等差数列 {an} と初項 2, 公比2の等比数列{bn}がある。
数列 {a,}と{b,}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてでき、
数列 {c}の一般項を求めよ。
問題
256
例題 262 のように, {an} の第1項と{bn}の第m項が等しいとする。
→ 31-1=2"
規則性を見つける
0S $円 000
ーこの不定方程式を解くのは難しい。
257
128,
{bn}の1つおきの項が
{an}の項と一致する
と予想できる。
8,
16,
32,
64,
{bn}:2,
II
3.1-1
4,
3·11-1
3·43-1
3.3-1
a11
a43
a1
a3
→ b。が{a}に含まれるとして, bm+1, bm+2, *… が3-(整数)-1の形で表されるか
25
確かめる。
Action》等差数列と等比数列の共通頂は, 周期性を具体的に示せ
解 {an}の一般項は
{b,}の一般項は
{an}の第1項と{6m}の第m項が等しいとすると
an =2+(n-1)·3= 3n-1
bn =2·2"-1 - 2"
2F
37-1= 2"
このとき
10m)の第m+1項以降
{am}の項になるもの
体的に探す。
: 2m+1 = 2·2" = 2(37-1) = 3·27-2
bm+1
13.(整数) -1の形で表
れない。
よって, bm+1 は{an}に含まれない。
次に bm+2 = 2"+2 =D4·2" = 4(3/-1) = 3(4/-1)-1
よって, bm+2 は{an}に含まれる。
ゆえに,a, = b, =2 より, ci = b=2 であるから
2
13.(整数) -1の形で表
れる。
{cn}は
b1, bs, bs,
Cn = b2n-1 = 22n-1
(別解)
*…, b2n-1,
思考のプロセス
