例題184 対数関数の最大・最小〔3〕
x≧10,y≧10, xy = 10° のとき, (log10x) (log10y) の最大値と最小値を求
例題182, IA74
めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。
Action 対数の積・商を含む式は,対数を1つの文字に置き換えよ
1logiox=u, log10yとおき, uのとり得る値の範囲を求める。
解法の手順・
2 (log10x) (log10y) をひの式で表す。
31の範囲における2の最大値と最小値を求める。
解答
log10x=u, log10y = v とおく。
x≧10, y ≧10 より
log10x≧log1010= 1, log10 y≧logio 10 = 1
C
u ≥ 1, v≥1
よって
また, xy=103 より
SENTOUT
10g10x+log10y = 3
u+v=3
よって
① ② より
ゆえに
ここで,
logıoxy= log10 103
u=3-v≦2
S=uv=u(3-u)
= − u² +3u
3
2
右のグラフより, ③ の範囲で
3
2
2
4 = -(u- +
1≤u≤2
...3
S (log10x) (log10y) とおくと
=
このときv=
9
Sはu= のとき 最大値
4
となり
・②
loga
3
2
また, u = 1,2のとき 最小値2
u=1のとき v = 2 となり
u=2のときv=1 となり
La MNV = loga M + loga N
9
AS
2
0;
x=y=10√10
132
2
x=10, y=100
x=100, y = 10
u
9
したがって,Sはx=y=10√10 のとき 最大値
4
x = 10, y =100 または x = 100, y = 10 のとき 最小値2
底は10で1より大きい
から 不等号の向きは変
わらない。
< ② より v = 3-u
3
2
x = 10% = 10√/10
◄logio x
のとき
Saigof ea
* 10
4
4章 12 対数関数
