写真の(1)の問題の解答についてですが、赤丸で囲った部分の「かけ終わり≧かけ初め」の意味がわからないです。解説おねがいします。

90 第4章 極 限 51 数列関数の極限 数列{an} は, a1=1/121,(n+2)an+1=nan (n=1, 2, …)をみたしてい る. (1) 一般項an をnで表せ. n (2) Sn=ak をnで表せ. k=1 n (3) lim (S)" を求めよ.ただし, lim (1+1/2)" -e を用いてよい。 =e n→∞ n10 n ak+1 k (1) (+2)an+1= nan より ak k+2 k=1, 2, ..., n-1 を代入して, 辺々かけると n≧2のとき, à₂¸à² ● a1 1.2.3 n 2n-1 3 4 5 n n+1 an 2 よって, an=- a1 n(n+1) これは, n=1のときも含むので, de an An-1 解答 = ● ● | かけ終わりかけ 初めより, n-1≧1 これから、n≧2 辺々かける 1 n(n+1) (α₁ = = = = * y))

（2）の問題1/2はどこから出てきましたか？ 教えてください

12 次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。 1 (1) 1-3 +3 +5 ++ (2n-1)(2n+1)+ 1 (2) √3+1+√5 +√3 第n項までの部分和をS" とする｡ (1) S. (15)+(21-24+1)-(226) (² 4) よって lim 2 ・+・・・・・・+ √2n+1+√2n-1 したがって、この無限級数は収束しての船は 1/2である。 (2) 15,4167/31)+(1/5-13)+(√2+1/211-1/(√2x+1-1) よう lim Sh=∞したがって、この無限級数は発散する。 218 T

解答の8行目なのですが、fxはなぜx=0で微分可能であると分かるのですか？

356 00000 微分可能な関数f(x) f'(x)=ex-1 を満たし, f(1) = e であるとき、f(x)を 求めよ。 X 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 指針 ▷>条件f'(x)=lex-1|から, f(x)=flex-1|dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x>0のときは、 x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 練習 解答 x>0のとき, ex-1>0であるから よって f (1) =e であるから ゆえに C=1 よって したがって ④ 4 2111 limf(x)=limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 0 (e=e-1+C_ したがって f(x)=ex-x+1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よってf(x)=f(-ex+1)dx = e から f(x) が決まる。 しかし, と条件f(1) そこで, 関数f(x)はx=0 で微分可能=x=0 で連続 (p.242 基本事項1②に着目。 320 tation ( =-ex+x+D (D は積分定数) (2) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに ①から ②から f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数) limf(x)=limf(x)=f(0) x-0 x→+0 π 2 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 x→+0 x→+0 lim f(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D x-0 ゆえに ex-1 このとき, lim -=1から x→0 x lim h→+0 2=-1+D=f(0) lim h-0 x-0 f(x)=-ex+x+3 ...... ƒ(h)-f(0) eh-h-1 h h f(h) -f (0) h =lim ん→+0 A =lim h-0 -=0, -e+h+1 h =0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)= D=3 yA 基本210 0 an y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か らxを含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 f(x) は微分可能な関数。 ◄lim 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 im (e^/-1-1) ん→+0 lim{=(e^-¹) +1} ん→-01 h OTS 1 π <x<1とする。 f'(x)=|tan²x-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。

【数Ⅲ 極限の変更】 添付写真のコツ(特に①と③について)の変換方法は、どのようにして導かれたものなのでしょうか？ 単純に覚えれば良いものかとも思ったのですが、 理屈が理解できていないので覚えにくく感じており、できれば導き方を知りたいと思っています🙌🏻 考え方を教え... Read More

336 49 Pie 4. 23 極限の変更 極限つまり→定数やx→∞ のところを変えてしまうのは, 掟破り? でも、とてもよ く使われる方法なんだよ。 17!!! 例題 4-31 (1) lim 次の関数の極限を求めよ。 2x-π COSx (2) lim 240 LATTAUUNTES x² x+4 sin 中間期末 出題度 (1) コツ 極限の変更 2次私大 000 試験出題度 203+1(2 今回は,x0じゃないですよね。 公式が使えない……。」 (800+1)x³300- *Point* sin 8 21 うん。実は次のやりかたを使うと、極限を変えて、4人の35 の 50+ Dainia の極限」の公式が使えるんだ。 1 『x→a』 を 『t→0』 にするには, x=t+αとおく。 「∞」を「→+∞』にしたり、 [x→−0』 を 『t→+0』にするには, (あるいは,その逆は)=tとおく。 3 [x→+∞』を『t→+0』にしたり、 「∞」を「→-0』にするには, (あるいは、その逆は)=1/17 とおく。 20 1 15 cos/1+21 22-17 TAM ORTA (1) COS 2=1+1+ 24 (与式)= 2 mi 1-0 =lim [[t[0]] HI ということなんだ A (2), 3 うん。答えは次 IV 153

黄色で線を引いたところが、どうしてこの式になるのか分かりません 教えて欲しいです

Z3 数列{an}があり, a1=3である。また, {an}の初項から第n項までの和をS とすると Sn=n(an-2n+2) (n = 1, 2, 3, ……) が成り立つ。 さ (1) 2 を求めよ。 (2) an+1 を an を用いて表せ。 また, an を n を用いて表せ。 2n (3) Th=2ak (n=1, 2,3,.......) とおく を正の定数とし, 数列{p√/Sm-√Tm} が収 束するときの値を求めよ。 また,そのときの極限値を求めよ。 (配点 40 )

黄色マーカーで引いたところが分かりません。 どうして公比が1なのですか？

基 90 基礎問 51 数列関数の極限()()別リアル) 第4章 数列{an} は, a1=1,(n+2)an+1=nan (n=1, 2, ...) をみたしてい る. (1) 一般項an をnで表せ. 精講 (②2) Sn=a をnで表せ. k=1 (3) lim (S.)* * *³ *. *ÆL, lim (1+1)" = e n→∞ 118 ∴. 典型的な極限の問題です. (1) は数学Bの範囲ですが, 漸化式のなかでは,難しいほうに入りま す。(数学ⅡI・Bの基礎問では扱っていません。) そこで,次のパターンを覚えておくことになります. (an+1=f(n) an (f(n): 分数式) 型漸化式の解き方〉 meを用いてよい。 Qk+1=f(k) として,kに1,2,... n-1 を代入して辺々かける. (ただし, n≧2) ak (3)のただしがきにある「lim (1+1/2)^ 1\n 71-00 代表格ですが,大切な公式です。 使い方にコツがあるので、ポイントをよくみ =e」 は受験生が正しく使えない公式の 解答 (1) (n+2)an+1=nan より ak+1. k ak k+2 k=1,2,.., n-1 を代入して, 辺々かけると n≧2のとき, 「い合わせるため an 1.2.3 an 3 4 5 a₁ az an 2 = a₁ n(n+1) よって, an=- これは,n=1のときも含むので, かけ終わりかけ 初めより, n-1≧ これから n ≧2 辺々かける n-2n-1 n n+1 1 n(n+1) (a₁ = = ² * y) 注 1 an n(n+1) (別解)(かなり速いのですが、理解しにくいかもしれません) (n+2)an+1=nan の両辺に n +1 をかけると, (+2)(n+1)an+1=(n+1)nan ゆえに, 数列{(n+1)nan) は,初項 2.1.α=1,公比1の等比数列. よって, n(n+1)an=1 (2) (数学ⅡⅠIB 119 S.-2A(+1)=2(+1)=1-1-1 k+1/ (3) S." (7)-(+1)^-{(1+1)}' n+1\-n (S)"= = kik(k+1) -1 .. lim (S.)-lim ((1+1)=²¹=1 e 71-00 ポイント 演習問題 51 72-00 .. -N-1 1 an n(n+1) (別解) (S)"=(1-1)において,(n+1)=N とおくと, =(1+1)=(1+1/2)*(1+2)^'={(1+1/4)}*(1+1)^ n→∞ のとき, N- ∞ だから, lim (S.) - Jim ((1+)*(¹+¹== N-∞ NT-CY lim (1+1)=e A ±00⁰ (1) lim (△はすべて同じもの) 次の極限値を求めよ. 2n (数学ⅡI・B 64 指数の計算) この公式は「△→±∞」で成りたちます. n O 91 13 (2) lim (1+1/12 ) 2n 7118 第4章 2

区分求積法を使うのでしょうか？ 丁寧な解説だと助かります💦

lim 21 cos Ar n7x0 K= を求めよ

極限の問題です💦 どのように解くか教えて下さると助かります🙇‍♀️

lim & 17001=1 the cos ki n

(3)が分かりません

1+6n n→∞an+1+6n+1 18a, bを正の実数とするとき, 極限c=lim (1) a=2, b=2のとき,cの値を求めよ。 (2) a>2, b=2のとき,cの値を求めよ。 (3) b=3のとき,c=1/23 となるαの値の範囲を求めよ。 を考える。 ら I D21

この写真の問題の(2)の問題についてですが、 赤線部がどのように変形されたのかわかりません。 解説おねがいします。

数列{an}は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす ものとする. このとき,次の (1), (2),(3) を示せ . (1) n=1,2,3, に対して,0<an<3 n-1 (2) n=1,2,3, に対して, 3-an≦ ≤ (1²) - ² (3-α₁) 3 (3) liman=3 118 ... 解 答 (1)0<a<3 ...... ① を帰納法で示す. (i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ。 (i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <ak+1<4 ・各辺に 1<√1+ak <2⇒2<1+√1+ak <3 21. <3巻辺に+1 +1 ←2 < ak+1 <3 レート化 よって,0<αk+1 <3 が成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, ① は成りたつ. (2) an+1=1+√1+an3an+1=2√1+an まず 左辺に 3-α+1 をつくると 右辺にも 3-anがでて 右辺=(2-√1+αn)(2+√1+αn) _ 2+√1+an 3-an>0 だから, (1)より 1<√1+an<2=3<2+√1+an<4 =1/2 • 3-an 2+√1+an 2+√1+an 3-An 2+√1+ a < (3-an) 3-a -an+1 < (3-an) [L] くる 1 3