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基本例題
228 媒介変数表示の曲線と面積 (1)
|重要 162, p.344 基本事項
曲線x=a(t+sint), y = a(1-cost) (0≦t≦) とx軸で囲まれた部分の
面積Sを求めよ。 ただし, a>0とする。
CHART
350
OLUTION
まず, グラフをかく
面積の計算
① 曲線とx軸の共有点のx座標(y=0 となるtの値) を求める。
(2)
t の値の変化に伴うxの変化やyの符号を調べる。
s=Sydx
(3)
積分区間 a≦x≦b において常に y≧0 のとき, 面積は
これを,置換積分の要領で,tに関する定積分に直して計算する。
解答
0≤t≤2n ① の範囲で y=0 となるtの値は,
1-cost = 0 から
t=0, 2π
t=0 のとき x=0,t=2 のとき x=2πa
x=a(t+sint) から
=-=a(1+cost)
y=a(1-cost) から
dy
0≦t≦2の範囲でx=0 とすると
dt
dx.
dt
dy
dt
=a
= asint
よって,x,yの値の変化は右上のようになり,
① の範囲においては,常に
JO
dx
t=0, π,
dt
・dt=
- ≧0 y≧0である。
JANSAS
ゆえに、この曲線の概形は右の図のようになる。
②より, dx=a(1+cost)dt であるから, 求める面積Sは
S=Sydx="a(1-cost)・a(1+cost)dt
=a² (1-cos²t) dt = a² sinºt d
2π
(2π
2π
12π
t=2²[t-sin2t] ²=na²
t 0
dx
dt
x
dy
dt
y
+ +
0 →>>
YA
2a
π
0
0
Ta
0 + 0
0 1 2a!
27
+ +
→→
t=0
1
t=π
2ла
0
0
(21-cos2t
2
inf. 0≦t≦2ｶ では y≧0であるから, 曲線はx軸の上側にある。よって、グラー
かかずに,積分区間と上下関係から面積を計算してもよい。ただしtの変化に伴
t=2-
Ta 2nX
置換積分により,の
分に直す xt の対
は次のようになる。
02na
t 02π
xが常に増加していることを確認すること｡
重要例題 232 のように,x の変化が単調でないこともあるので注意が必要である。
OMTORO+x-
