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隣接3項間の漸化式 (3)
2辺の長さが1
と2cmの長方形のタイルがある.縦が2cm,横が
ncm
1 の長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ
Check
のような置き方の総数を an で表す. ただし, nは正の整数である.
(1) a1,a2 を求めよ.
(3) {an}の一般項an を求めよ.
枚置くかで2通りに分け
られる.これより,n+2/
までのタイルの置き方は、
+2=an+1+an となる.
(2) An+2 An+1, an £¶v›¯‡t.
タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。
のタイルをA.のタイルをBで表すと,
2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2
(i)
2n+1
An+2
conce
どうなる
720
5
(1) n=1のとき, タイルの置き方は1通りより, α=1
あとは確定
0-1+√/5,
a=-
2
通り Aのダウ
n+1
nn+2
B=
****
n=2のとき, タイルの置き方は2通りより,
a2=2
(2) 横が (+2cm のとき, タイルの置き方は、次の2
つに分けられる。
または
(すでに横が (n+1) cm までタイルが置かれて(n+1)cm まで置いて
いて、最後に縦に1枚置いて,(n+2 cm とする. いるので, an+1(通り)
すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最縦に2枚並べる置き友
後に横に2枚置いて,n+2cm とする。
は(i)に含まれる.
よって, (i), (i)より,
an+2=an+1+an
(3) 特性方程式 x2=x+1, つまり, x²-x-1=0 の2つの解を
p.534 参照
1+√5 8=1-√√5
α==
B=
2
2
数列{an+1- aan} は初項az-αa1=2-α,公比βの等比数列より,
an+1-dan=(2-α)βn-1
また,α+B=1,B2=β+1 より, 2-α=β+1=β2 hp-
an+1-αan = B2.pn-1B+L①
an=a_g(an+1-βn+1)
通り Bのタイル2枚
んでおけば
あとは確定
よって,
また, an+2-Ban+1=α (an+1-βan) となるから,上と同様に,
an+1- Ban=an+1
·②
②① より
n
10
とすると, an+2-αan+1=β(an+1- αam)となる.
1-√√5 £), an=-
2
533
ESPE
第8
*), an= // ((¹+√5) **¹-(1-√5) **)
\n+1
5
2
