なぜ点(0,0)を中心とする円になるのですか？

基本 例題 166 放物線の頂点が描く曲線など 491 00000 (1) 放物線y=x2-2(t+1)x+22-tの頂点は, tの値が変化するとき どんな 曲線を描くか。 (2)=の間を点P(x, y)が動くとき,座標が (y-x, 2xy) で 19表される点Qはある円の周上を動く。 その円の中心の座標と半径を求めよ。 解答 指針 88A 260 p.488 基本事項 2 (1) まず, 放物線の方程式を基本形y=a(x-p)'+αに直す。 頂点の座標を (x,y) とすると,x=(tの式),y= (tの式) と表される。 x=(tの式),y=(tの式)から変 数を消去して,x,yの関係式を導く。 (2)円の媒介変数表示 x=rcos 0, y=rsin0 を利用すると, 点Qの座標 (X, Y) も0で表される。 この媒介変数表示からX,Yの関係式を導く。 方がある。 CHART 媒介変数 消去して,x,yだけの式へ (1) y=x2-2(t+1)x+2t2-t ={x2-2(t+1)x+(t+1)^(t+1)^+22_003) Fa) ={x-(t+1)}'+t2-3t-1 (2000)x(ie 9 t=0 [=] よって, 放物線の頂点の座標を(x,y) とすると ①, y=t-3t-1・ e x=t+1 ...... ② ①から t=x-1の公式 これを②に代入して 左量よって 2006-)= tan y=(x-1)2-3(x-1)-1 y=x25x+3 2009(0) 243 -1- 0-3 13 y=x2-5x+3 4 章 2媒介変数表示 したがって,頂点は放物線y=x-5x+3を描く。 (2)x2+ye=re から, P(x, y) とすると tの値がすべての実数値を X.0 200- サイクx=rcos 0, y=rsin0 と表される。 Q(X, Y) とすると a) X=y²x²= r² (sin²0-cos²0) 200 るとき、モー(cos20-sin20)=cos2000mi D D とると,①のxの値もす べての実数値をとり頂点 は放物線y=x25x +3 全 体を動く。 Y=2xy=2rcose.rsin0=resin 20 X2+Y2=r*(cos'20+sin220)=r‘=(r2)2 よって ・位置 ゆえに点Qは点 (0, 0) を中心とする半径の円の にきたとき、Plex,y)とする 周上を動く。 参考 する。更に、 X, Y=Ocos A, -> 0口 sin△の形 sin △+cos △=1 の活 用を考えてみる。 のとき,点Pは円x2+y'="上を半周,点Qはx+y2=(r2)2上を1周 2πのとき,点Pは残りの半円上を動き,点Qは円上をもう1周する。 Aniacosx>00000 osino),y=a(1-cost) (Jすることはできない。 22>0 変化するとき,どんな

赤線以後のところの説明お願いたします なぜnを割るのですか？ また求める和でΣn＝20となる理由もわかりません

ues. 454 基本 例題 30 群数列の応用 Onsens 0000 ・の分数の数列について 1'2' 2 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3'3 11 4'4'5'・・・・ 3'3'4'4'4 初項から第210項までの和を求めよ。 [類 東北学院大 ] 指針 分母が変わるところで区切りを入れて, 群数列として考える。 分母: 1|22|3, 3, 34, 4, 4,45, 1個 2個 3個 4個 .... 第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。 分子: 12,34,5,6-7,8,9,10|11 ...... 分子は,初項 1, 公差1の等差数列である。 すなわち, もとの数列の項数と分子 は等しい。 まず, 第210項は第何群の何番目の数であるかを調べる。 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 12 5 34 解答 12' 23 , 3'3 9 10 11 8 67 4' 4 45 第1群から第n群までの項数は 1 1+2+3+....+n=1n(n+1) 2 第210項が第n群に含まれるとすると 1/2(n-1)n<210≦1/12m(n+1) よって (n-1)n<420≦n(n+1) ① もとの数列の第項は 分子がんである。 また 第群は分母がんで、 個の数を含む。 ■これから、第九群の の数の分子は 11/n (n+1) 重要 例題 3 自然数 1, 2, 3. (1) 左からmi 然数をmを (2)150は左か るか。 指針 群数列 解答 (1) 左 のm (2) 15C 注目 並べられ 1|2, (1) ①の 左から 番目の (n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である から,①を満たす自然数nは n=20 S また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数 である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は ・20・21=210 1/171211n(n-1)+1}+(n-1)・1}÷7 = 1½n (n²+1) ÷ n = n2+1 2 2 ゆえに, 求める和は 20k2+1 20 1/20・21・41 2*²+1=1 (2² + 21 ) = 1 (20-21- +20) =1445 k=1 k=1 (2)150 122 < は 第12 は第n 群の数の分 13群 子の和→ 等差数列 n{2a+ (n-1)] }] また、 よっ 練習 ③ 30 2の累乗を分母とする既約分数を、次のように並べた数列 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 151 2' 4' 4' 8' 8' 8' 8' 16' 16' 16' ' 16' 32' について,第1項から第100項までの和を求めよ。 P.460 EX 置に 練習 自然数 ④ 31 (1) 左 数を (2)15

vision questⅡ English expression hope 70ページ preview 1.date&time 2.numbers(sizes,measurements,etc) 3.prices&Phone numbers listeningtask 1.... Read More

140 // TIT Activity for Communication 3 Preview Listen to the sentences below. 1 Dates & Times Listening for Numbers the on Enio 1. "The movie starts at 5:20. Can you be ready in ten minutes?" "OK. I'll try." 2. "What time is it now?" "It's 11:30." basalaila awohlsw 3. I have an appointment with the dentist this Thursday, the 10th. M 4. "When does school begin?" "It begins on April 8th." 5. Our school was established in 1965. 6. My family has lived in this town since 2005. 2 Numbers (sizes, measurements, etc.) 1. Two thirds of the students come to school by bus. 2. One mile is about 1,609 meters. 3. The city has a population of about 2.5 million. 4. The temperature dropped to 12°C. 5. APA Air Flight 125 for London will be departing from Gate 14 at 10:15. 3 Prices & Phone numbers 1. The price of this bag is $27.89, but you can have it at 10 percent off. 2. What would you do if you won 100 million yen in a lottery? 3. "A hamburger and a cola, please." "That'll be £2.99." 4. I need €20, but I'm €5 short. 5. My phone number is 612-750-5613. Listening Task Listen to the conversations and choose the correct answers. 1. How much of the earth's surface is covered by ocean? 1 more than one third more than one fourth 監督署 ER 70 3 more than two thirds 4 more than two fifths 2. When were the Olympic Games held in Atlanta? 1 in 1966 2 in 1969 3. How much did the dress cost? 1,100 yen 2 1,800 yen 3 in 1996 4 in 1999 S 8,000 yen ③ 13,000 48,800 yen bluros ④ 30,000 about 200,000 4. How many people can the concert hall hold? ① 1,300 ② 3,000 5. How many people live in the city? ①about 2,000 2 about 12,000 3 about 20,000 ① 207-7300 2207-7003 ③ 702-3300 6. What's the phone number of the restaurant? The number is 510- ④ 702-3003

（4）の問題の答えにある図の平行四辺形はなぜACDA4の周および内部なのですか？1/2OAと2OBが存在範囲になるなら平行四辺形OA4DB4じゃないんですか？

例題 38 終点の存在範囲 |頻出 ★★☆☆ 一直線上にない3点 0, A, B があり、 実数 s, tが次の条件を満たすとき, OP = sOA + tOB で定められる点Pの存在する範囲を図示せよ。 (1) 3s+2t=6 (2)s+2t=3,s ≧ 0, t≧0 1 (3) s + ≤1, -t≤ 1, s≥0, t≥ 0 2 (4) 1/12 s≦1,0≦ts2 思考のプロ ▲OAB と点Pに対して, OP =OOA+△OB を満たすとき,点Pの存在範囲は (ア) O + △ = 10 直線AB

赤線部について質問です。 なぜ重複を許して5個を選ぶときこのような考え方になるのか分かりません💦重複組み合わせと同じ考え方ですか？なぜ同じ考え方になるのかも教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

Think 例題186 一定の順序を含む順列(2) 5桁の整数 N =α × 10' + 6×10°+c×102+d×10+e **** 次の条件を満たすものは何通りあるか。(各位の数は0以上9以下の軽 数, α≠0 とする.) (1)a>b>c>d>e (3) a<b<c, c>d>e 考え方 与えられた条件から, 解答 (2) a≥b≥c≥dze 「0から9の10個の数から5個を選んで5桁の整数をつくる」 という問題であることがわかる. 10個の数から5個を選んで並べるのであれば, 順列の考えを用いればよいが、 ここで は、選んだ後は条件を満たすように並べるので,並べ方は1通りに決まる。 つまり 個の数字を選ぶことを考えればよい. (1)86542 のように各位の数が徐々に小さくなる場合である. (2)なので,重複を許して(たとえば, 8, 6, 64, 2などでもよい) 選べばよい。 (3)まずは,一番大きい数が入るCを考える。 (1)0, 1, 2, 3, … 9の10個の数から異なる5個を選ん で,大きい順に a, b, c, d, e とすればよい. このとき, α≠0 は成り立つ. 10.9.8.7.6 5･4･3･2･1 =252 (通り) よって, 10C5= (2) 0, 1, 2, 3, 9 の 10 個から重複を許して5個を選 んで大きい順にa, b, c, d e とすればよい. ただし, このうち 0, 0, 000のみ a=0 となり不適である。 よって, 14C5-1=2002-1=2001 (通り) (3) a≧1より,c≧3 である. c=3 のとき,e,dは0, 1, 2から2つ選んで小さい 順にe, dとし, baは1,2から2つ選んで, 小さい 順に a, b とすればよいので, 3C2 ×2C2 (通り) c=4,5,6,7,8,9のときも同様にすればよい. よって, 3C2 2C2+4C2*3C2+5C24C2+6C25C2+7C2・6C2 αは他の位の数より 大きいので となる. 5個の○と9個の1 の並べ方より, 145 通り α = 0 となるのは、 すべての位の数が となる場合である。 a=0 h, a≥1 a≠0のため,a, b はdeより選べる 数が1つ少ない. +8C2・7C2+9C2・8C2 =3・1+6・3+10・6+15・10 + 21・15+28・21+361?1 =2142(通り)

（2）で写真2枚目のやり方でできますか？

物質の変化 | 酸化還元反応の量的関係 水溶液中で硫化水素 H2Sと二酸化硫黄 SO2 は, それぞ れ次式のように反応する。 下の各問いに答えよ。 金 H2S — S+2H+ +2e JSO2+4H++4e- → S+2H2O (1) 0.30molのH2Sと反応する SO2 の物質量を求めよ。 (2)0.30molのH2Sと0.30mol の SO2 が反応したとき, 何molのSが生じるか。 $81

（2）番です。答えは合っているのですが、私の求めた求め方がたまたまあったのかどうかを知りたいです。教えてください。

例題 13 二項定理の利用 次の問いに答えよ. **** (+) (1) 21=1+20 として, 二項定理を利用して, 21 を400で割ったとき の余りを求めよ. (京都教育大・改) (2) 1011 の下位5桁を求めよ. (お茶の水女子大改) 利用し,二項定理を使う. 考え方 (1) 21=1+20 より 21=(1+20) となるので, 21=1+20, 400=202 であることを M M 101=1+100 より 101= (1+100)利用することを考える 解答 (1) 21=(1+20)21 21C020°+21C120 wwwww +21C2202+ 101100=(1+100) 100=(1+102) 100% +21C202020+ 21 C2120212-(z) 400=20°より,21C2202 +... +21C2120は400の 倍数となる. 400の倍数とならない項, つまり,21020021C,201 を考えると, で 21Co20°+21C20'=1×1+21×20 =1+420 二項定理で展開する M' 部分の項はすべ て202で割り切れる 残った部分の頃より 余りを求める. 200=1 01=1+p+cp s =421 =400+21 よって、400で割った余りは, 21.=p このは (2)101100 =(1+100)=(1+102)100 =100Co(102)+100C (102)'+100 C2 (102) 2 +100C3(10)+100C99 (102) 99+100C100 (102) 100 AC3 (102) ++100 C100 (102) 100 は (102) 1000000 www 101 部分の項は下 M 5桁がすべて0に の倍数であり,下位5桁がすべて0になるので、残りるため計算しなく の項を考えると, 100C(10%)+100(102)'+ 100C2(102)2 100.99 -X 10000 2 =1+100×100+ =1+10000+49500000 =49510001 よって,下位5桁は,10001 みよい。

数学　数列 ⑵の赤線のところで、この44.45などのように、条件に合う数の見つけるにはどう計算すれば良いですか？

例題17 M,A,T,Hの4文字をこの順に繰り返し並べた文字列 MATHMATHMATHMATHMATHMATH･･････ (※) がある。 この文字列(※)の先頭からn個の文字を第n群として,第1群 から順に並べた文字列(※)をつくる。 第1群 第2群 第3群 第4群 第5群 第6群 M | MA | MAT | MATH | MATHM | MATHMA | M……(※※)

［1］の条件は思いつくのですが、［2］と［3］の条件が自分ではなかなか思いつきません。こういうのは何回もこの問題を解くしかないのでしょうか？

8 重要 例題 関数とその逆関数のグラフの共有点(2) 00000 f(x)=x²-2x+k(x≧1) の逆関数をf'(x) とする。 y=f(x) のグラフと |y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数んの値の範囲を求めよ。 基本10 指針 逆関数f'(x) を求め, 方程式f(x)=f(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考え てもよいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利 用して、次のように考えてみよう。 共有点の座標を (x, y) とすると, y=f(x) かつy=f-1 (x) である。 ここで,性質 y=f'(x)=x=f(y) に着目し,連立方程式 y=f(x), x=f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x, yの範囲にも注意。 共有点の座標を (x, y) とすると tv= 解答 y=f(x) かつy=f-1(x) 参考 y=x2-2x+kとす ると y=f-1(x) より x=f(y) であるから,次の連立方程式を考 よって える。 y=x2-2x+k(x≧1) ①, x=y2-2y+k(y≧1) ① ② から y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y) したがって (x-y)(x+y-1)=0 x1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえに x=y よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち x2-3x+k=0が x≧1 の異なる2つの実数解をもつこと である。 B すなわち, g(x)=x2-3x+kとし, g(x) =0の判別式をD こ とすると、次のことが同時に成り立つ。 [1] D> 0 x2-2x+k-y= 0 x=1±√12-(k-y) x≧1から x=√y-k+1+1 xとyを入れ替えて,逆関 数は f1(x)=√x-k+1 +1 A 逆関数f(x) の値域 は 関数 f(x)の定義域と 一致するから y≧1 B 放物線とx軸がx≧1 の範囲の異なる2点で交わ る条件と同じ。 y y=g(x) [2] y=g(x) の軸がx>1の範囲にある [3]g(1) 20 [1] D=(-3)2-4・1・k=9-4k ={(x)}(1) 9 よって 9-4k>0 ゆえに k< 3 4 3 3 + 0 3 [2] 軸は直線 x = x=1/2で12/28>1である。 [3]g(1)≧0から 12-3.1+k≧0 よって k≧2 4. ③④の共通範囲をとって 9 2≤k<- (S) or N 4

数学　数列 ⑵が分からないので教えていただきたいです。 ⑴は教えていただいて理解できたので、できれば⑴の解説と同じ感じの解き方で解く方法を教えていただけると幸いです…！

次の各問いに答えよ。 例題13 (1)次のように定義される数列αの一般項を求めよ。 5 41=1/23.02=1/4.0m=121230-1-am-2 (n=3,4,5,...) an 4' (2) 次のように定義される数列の一般項を求めよ。 5 6,=2.02=12.02=1/7.62=1/2/20m-1-12/20m2+66-3 (n=4,5,6,... -bn 解答 (1)a=2"-1- 1 (2) b=2"-1+ 2n 2n-1 5 解説 (1) a= (1) an=1/an-1-an-2を2通りに変形して, a-α=2(---) an 'n-1 'n-1 am-20-1=1/12(4月-1-20-2) an 'n-1 (n≥3) ここで、lant1 - 12/20 は公比2の等比数列であり,km+1-20は公 比 1/2 の等比数列である。 よって, 初頂だから n=3を代入してる。 n an + 1 — — — a₁ = (a₂ — — — a₁) 2-1 = 3. 2n-1 ① a,+120円=(02-20) (12/2) (a₂-2a)(1)"= 3 • 1 4 2n-1 ② (①-②)×1/2より、 an=2n- -1 1/ 1 =2n-1. 1 2 2n-1 2n