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重要 例題 78 w=z+ a²
0でない複素数とし,x,yをz+ 1
2
を満たす定数とする。 zが偏角 α の複素数全体を動くとき、xy平面上の点
(x,y) の軌跡を求めよ。
時で
[類 京都大] 重要 26
指針偏角αの範囲が条件であるから,極形式z=r(cosa+isina) (0) を利用。
1を の形に表すことにより,x,yをそれぞれr,αで表す。
1 z +
解答
Iz=r(cosa+isina) (r>0, 0<a<-
>60120
*
ゆえに
0<a < 1/2
よって
つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く。 なお,00<a</
より、xの値の範囲に制限がつくことに注意。
HOOVER
練習
78
1
z+ -=r(cosa+isina)+(cosa-isina)
r+
= (r++)cosa+i(r— — )sina
r=
cosa, y=(r1) sina
x=(y+/-/-
であるから
r
COS α
x
双曲線
x
ゆえに
COS α
r 2
x
y
x
1² ² = 1 +5 +²1² (cosa + sina) (cosa
=
2
COS
x #601
cos a
x≧2cosa
-=rt
π
<<//) とすると
よって
また,0から
ゆえに
したがって、求める軌跡は
表す図形 (2)
+
4 cos² a
cos a>0, sin a>0
y
sin a
r
y
sina
図 x2
したがって
4 cos² a
4sin² a
ここで,y>0であるから、(相加平均) (相乗平均) により
1
+ 122 √/1.7
CAGLEDEYSET
=x+yi を満たす実数,αを0<a<
π
x
cos a
-(tana)x<y<(tana)x
4sin'a
+
sinα
=2
y > 0,
x
COS α
T
y
sin a
y
sin a
等号はx=1のとき成り立つ。
J=1
x
y
->0
sin a
COS Q
-=1のx≧2cosα の部分
絶対値や偏角αの範囲
に注意。
700円
=—-{cos(—a)+isin(—a)}
◄z+1=x+yi
r38670 10.
面上で描く図形の概形をかけ。
(1) |2|3|z-1|=|z-i|
検討 第4章で学ぶ極
限の知識を用いて, yが実数
全体をとりうることを調べ
ることもできる。
lim(r-1)=∞,
lim 1 (₁ - ²) = -₁ ∞であり、
+0
sinα> 0から
17 新東線
limy=-∞, limy=8
r+0
点 (x,y) の軌跡は次の図の
を求めている
T2=
-2cosa
yay=(tana)x
(1)
--------
1
0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点2+
/ 2cosa
y=-(tana)x
が複素数平
139
2章
10
媒介変数表示
