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基本 例題88 曲線の接線の長さに関する証明問題
00000
曲線x+y=(a>0) 上の点Pにおける接線がx軸, y軸と交わる点を
それぞれA, B とするとき, 線分ABの長さはPの位置に関係なく一定である
ことを示せ。 ただし、Pは座標軸上にないものとする。
[類 岐阜大]
基本 83
指針 まず 曲線の対称性に注目 すると (p.178 参照), 点P は第1象限にある,つまり
P(s,t) (s>0, t>0) としてよい。 p.145 基本例題 83 (1) と同様にして点Pにおける
接線の方程式を求め, 点 A, B の座標を求める。 線分ABの長さがPの位置に関係な
一定であることを示すには, AB2が定数 (s, tに無関係な式) で表されることを示す。
TRAYA
3√√x² + 3y² = 3√ √ a² (a>0)
① とする。
a
解答 ① は x を -x に, y を -y におき換えても成り立つから,
曲線① はx軸,y軸,原点に関して対称である。
よって, 点Pは第1象限の点としてよいから,
P(s, t) (s>0, t>0) とする。
B
P
9xs
-a
0
a x
A
ゆるカーの
-a
また, s = p, t=g(p>0g0) とおく。
......
(*)
x>0, y>0のとき,①の両辺を x について微分すると
x=acos30
y=asin³0
(*) 累乗根の形では表記
2
+
33√x
2y'
33√y
=0 (ゆえに
y'=-31
y
Vx
よって、点P における接線の方程式は
①
が紛れやすくなるので,
文字をおき換えるとよい。
'=(x)=1/2x1
y-t=-3 ± 4 (x−s)
S
ゆえに
y=-(x-p³)+q³
p
②
S
② で y=0 とすると x=p+pg:
3
よって
22
= (su+/t)=(v^)=α2
App+g2), 0)
x=0 とするとy=pq+g B(0,g(p+g²))
AB2={p(p2+q^)}+{g(p2+q^)}2
2
=(p²+q²)(p²+q²)²=(p²+q²)³
◄s=p³, t=q³
◄0=-(x-p³)+q³
両辺にを掛けて
0-gx+ap+pg°
ゆえにx=p+pg2
D
したがって, 線分ABの長さはαであり,一定である。
<a>0
