2×3^n-1はどこからでてきたのですか？

(等差)×(等比)型の数列の和 本 例題 22 S=1・1+3・3+532 + ......+ (2n-1)・3-1 「一般項が (2n-1) ・3"-1 で表される数列の初項から第n項までの和 を求めよ。 CHART & SOLUTION (等差)×(等比)型の数列の和 S SSを作る (rは公比 ) 数列の一般項は an=(2n-1)・3-1 これは等比数列ではないが等比数列に似た形である。 等比数列 {arn-1} の和は lsts rS= Partaret..... tarn-1+arn の辺々を引いて (1-r) S=α(1-r") から求めた。 この例題でも、同じ方針で S-3S を計算する。 S=a+artar²+..... tarn-1 両辺に3を掛けると 3S= よって S=1・1+3・3+5.32+ ここで 1・3 + 3・32 +・ ------ ...... 辺々を引くと 3x+5ײ -2x+3x2 ■S-3S=1・1+2・3+ 2・32+ +2.3 - 1 の *** したがって (2m-12-39-2 ......+(n-1)・3n-1 LEHE 3 ... 2/2 10とかは. ← +(2n-3)・3″-1+(2n-1)・3" [i+1]の です -2S=1+2(3+3²+...+3n-¹)-(2n-1).3" 3+3+...... +3″-1=- 90 引き算しやすい位置に項を書く。 5900 336-1-1)=212 (3-1-1) 3-1 ゆえに -2S=1+2 (3"-'-1)-(2n-1)・3" =1+3"-3-(2n-1)・3" (2-2n)-3"-2 S=(n-1)・3"+1 00000 J3681(n − 1) ¹§£ (2n-3)-3-2 -(2n-1).3" 2 3 ←計算しやすいように, の項を、上下にそろえ 書く。 (2n-1)・3" である。 ~ 符号のミスに注意。 ( ) が等比数列の和 なる。 初項3,公比3,項 n-1の等比数列の和 n=1,2 を代入して しておくとよい。

これはもう解法として覚えておくということですよね？

[基本] [例題 1 数列 力 1 ….……… の初項から第n項までの和を求めよ 1 2･5'5･8'8・11’ CHART & SOLUTION 分数の数列の和 部分分数に分けて途中を消す 0 分母に着目すると、第k項の分母は (3k-1)(3k+2) このような形の分数は部分分数に分けて差の形にすることができる。 1 1 3 を計算すると 3k-1 3k+2 (3k-1)(3k+2) = よって -1)(3k+2)=3-(3k-1-3k+2) この式に k=1, 2, ......, n を代入して辺々を加えると, 隣り合う項が消え

例題91（1）解説の2行目の意味がわからないので教えていただきたいです！

152 不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式) 本 例題 91 (1) すべての実数xについて, 不等式 x-ax+2a> 0 が成り立つように、 [ 東京電機大 定数aの値の範囲を定めよ。 (2) すべての実数xに対して, 不等式 kx²+(k+1)x+k≧0 が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 CHART&SOLUTION 定符号の2次式 常に ax+bx+c>0⇔a> 0, D < 0 常に ax2+bx+c≦0⇔a<0, D≦0 (1) x2-ax+2a=0 の判別式をDとする。 x2の係数は正であるから、 常に不等式が成り立つ条件は D<0 (1) x²の係数は 10 → D<0であるα の条件を求める。 (2) 単に「不等式」とあるから,k=0 の場合(2次不等式でない場合)も考えることに注意。 k0 の場合、 k< 0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。 ここで D< 0 から 求めるαの値の範囲は (2) kx2+(k+1)x+k≦0. D=(-α)²-4・1・2a=a²-8a=a(a−8) D≦0から よって k-123,1Sk k≤- 3' [1] k=0 のとき, ① は x≤0 これはすべての実数xに対しては成り立たない。 [2] k0 のとき, 2次方程式 kx²+(k+1)x+k=0 の判 別式をDとすると, すべての実数x に対して, ① が成 り立つための条件は ん < 0 かつ D≦0 ここで D=(k+1)^-4・k・k= -3k²+2k +1 =-(3k+1)(k-1) (3k+1)(k-1)≧0 PRACTION 0<a<8 ① とする。 <0 との共通範囲をとると 以上から 求めるkの値の範囲は ks-1 5--1/32 p.146 基本事項 ks-13/12 21 下に凸の放物線が常に x軸より上側にあるた めの条件と同じ(p.146 基本事項2参照)。 (1) 下に凸 D<0 上に凸 D≤0 X (2) [2] 上に凸の放物線が x軸と共有点をもたな い,または x軸と接す る条件と同じ。 [2] X

別解の方の下から5行目の商がaになるのが分かりません

00000 基本例題 54 剰余の定理の利用 (2) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りが3,x2-x-6で割ると余りが-2x+17 であるとき,P(x) を(x-1)(x+2)(x-3)で割った余りを求めよ。 ③ 基本 53 C HART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから、R=ax²+bx+c とおける。 x2-x-6=(x+2)(x-3) であるから,まず, x+2x-3で割ったときの余りをそれぞれ 求める。 別解 余りのおき方の工夫をする。 ax2+bx+c を更にx2-x-6で割った余りを考える。

これって方程式の実数解をαと置く必要ってあるのですか？

住工 xの方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki=0 が実数解をもつように,実数k の値を定めよ。 また, その実数解を求めよ。 ③ 基本38 CHART & SOLUTION DIE (x-2)x=(8+x)(1+z) (C) 2次方程式の解の判別 OX.AE 判別式は係数が実数のときに限る から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。 実数解をαとすると (1+i)a²+(k+i)a+3+3ki=0 この左辺をa+bi (a,b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により a=06=0 α, kの連立方程式が得られる。・････ ① ! ← 解答 方程式の実数解をα とすると 整理して (1+i)a²+(k+i)a+3+3ki = 0 (a²+ka+3)+(a²+a+3k) i=0 J HL 26 x=α を代入する。 a+bi=0 の形に整理。 キーマ

整数解や自然数解を求めるときに青丸で囲ってあるような考え方で書いてある時と、ユークリッドの互除法で書いてある時があるのですがどういうときに青丸で囲ってあるような考え方ができるとか決まってるのでしょうか？

0 2 し xが2桁で最小である組は (x,y)=(^^) である。 等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は CHART SOLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む ・・・・・・図 2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち 2x=3(11-y) 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。 ⑩において, y ≧1 であるから 11-y≤10 2x≦3・10=30 更に, x≧1 であるから 1≤x≤15 x = 3, 6, 9,12,15 ②③から ゆえに, 等式を満たす自然数x,yの組は それらのうちxが2桁で最小である組は 別解 x=0, y=11 は, 2x+3y=33 であるから 2.0+3・11=33 ①②から 2x+3(y-11)=0 すなわち 2x=-3(y-11) 2と3は互いに素であるから、①のすべての整数解は x=3k, y=-2k+11 (kは整数) 「x, y が自然数」すなわち x≧1, y≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利 用して,最初から x,yの値の範囲を絞り込む とよい。 別解 基本例題122 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x, が自然数になるように絞り込んでもよい。 とされる。 x≧1,y≧1 であるから 3k≧1, -2k+111 よって -≤k≤5 んは整数であるから k=1, 2,3,4,5 ゆえに, ① を満たす自然数x,yの組は『5組 PRACTICE... 124 ③ ■ 組ある。 それらのうち [福岡工大] 5組 (x, y)=(112, 3) ① の整数解の1つ (2) xが2桁で最小となるのはk=4 のときであり, このときの組は (x, y)=(12, 23) (2) |基本 122 満たす自然数x,yの組を求めよ。 重要 125 11-yは2の倍数である からyは奇数。 こちら から絞り込んでもよい。 ◆それぞれのxに対して, yは自然数になる。 2x=33-3y =3(11-y) と変形してもよい。 ←-2k≧-10 から k≤5 不等号の向きに注意。 xが2桁のとき x=3k≧10 4章 15 ユークリッドの互除法

この問題の(1)と(2)の回答の赤いところからなぜその式になるのかが分かりません。降べきの順は分かりますが、まとめ方が意味不明です😵‍💫😵‍💫 １問でもいいので、丁寧に解説していただけると助かります！！

次の式を因数分解せよ。 (1) a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)²-4abc (2) x(y²-2³)+y(2²-x²)+z(x² - y²) CHART & SOLUTION 対称式・交代式の因数分解 1つの文字について降べきの順に整理する どの文字についても次数は同じ。 どれか1つの文字に着目して整理する｡ (1) a²+a+● (2) x2+x+ 解答 (1) a(b+c)²+b(c+a)²+c(a+b)²-4abc&& =(b+c)a²+{(b+c)2+2bc+2bc-4bc}a+bc2+b'c =a(b+c)2+b(c2+2ca+α²)+c(a²+2ab+b2)-4abc1 =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(c+α) Sans@sto ‚a+ð ‚ð+o 〔(2) 鹿児島経大 ] ●a²+a+ =(b+c)a²+(b+c)a+bc(b+c) 04648 (b+c)が共通因数。 =(b+c){a²+(b+c)a+bc} caについて降べきの順に整 和 : a + b→b+c→c+a 差:a-b→ b-c→c-a 積 : ab→bc→ca 基本 14,15 15-016-5)= た い ←これを答えとしてもよい。 輪環の順に整理。 CFR (2) x(y²-2²)+y(22-x2)+2(x²-y2) othis (ds) +1d理する。 (- =(-y+z)x2+(y²-22)x+yz²-y'z =-(y-z)x2+(y+z)(y-z)x-yz xについて降べきの順に整 (y-z) =-(y-2)(x²-(y+z)x+yz} KOST & =-(y-z)(x-y)(x-2). これを答えとしてもよい。 =(x-y) (y-z) (z-x) -=d+"p-dp輪環の順に整理。 ●x²+x++ (y-z) が共通因数。 INFORMATION 3つの文字についての式は,なるべく輪環の順に書くようにすると 式が見やすく、書き落としや間違いを防ぐことができる。 8x TOG'S a. 1章 (6) D 2 因数分解

写真の青線のところが何を表しているのかわからないです 教えてください🙇‍♀️

Nを自然数とする。 大きさが同じ (N+1) 個の球に, 0 からNまでの異なっ た数字をそれぞれ1つずつ書き, 袋に入れておく。 その中から2球同時に取 り出し, そこに書かれた数字の差を確率変数X とする試行を考える。このと [類 山梨大] き,次のものを求めよ。 (1) k1≦k≦N なる自然数とするとき, X=k となる確率P(X=k) (2) Xの平均 E(X) (3) N=4 のとき, Xの分散 V(X) CHART & SOLUTION 2k, k, k の公式(第1章数列参照) を利用する｡ 計算の際, N はんに無関係であるから, ZNk=Nk などと変形する。 解答 (1)X=k となるのは,2球に書かれた数の組が(0,k), (1,k+1),…… (N-k, N) の場合である N-k+1_2(N-k+1) よって P(X=k)= N+1 C2 6+pε=0 ←球の取り出し方は全部 N(N+1)) √\D=(X) D-7 基本52 でN+C通り

例題78 解説で、赤くなっている部分の意味がわからないので教えていただきたいです！

本 例題 78 実数解をもつ条件 (1) 00000 (1) 2次方程式x+2k-1)x+k-3k-10 が実数解をもつように,定数 kの値の範囲を定めよ。 (2) 2次方程式 3x² +8x+k=0が重解をもつように、 定数kの値を定め, そのときの重解を求めよ。 p.129 基本事項 2 CHART & SOLUTION 2次方程式の実数解の個数と判別式の符号の関係 異なる2つの実数解をもつ ⇔D>0 ただ1つの実数解 (重解) をもつD=0 実数解をもたない ⇒D<0 (1) 単に「実数解をもつ」 条件は 「D>0 または D=0」 すなわち D≧0 D (2) xの係数が6=26′のとき, D=(26')²-4ac=4(b^2-ac) から Dと1/4の符号は一致するから、Dの代わりに 1/2の符号を調べてもよい。 また, ax2+bx+c=0が重解をもつとき,その重解は b 2a 空 (1) 2次方程式の判別式をDとすると D=(2k-1)²-4・1・(k²-3k-1)=8k+5 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0であるから 8k+5≥0 よって 5 よって k≧- 8 (2) 2次方程式の判別式をDとすると D P=4² -=42-3・k=16-3k 2次方程式が重解をもつための条件は D=0 であるから 16-3k=0 16 3 k=- また、重解は x= 実数解 をもつ 8 2.3 x=1 3 D≧0 =62²-ac ← (2k-1)2 -4(k²-3k-1) =4k²-4k+1 -4k²+12k +4 =8k+5 D = 0 のときの重解は b 2a x=- PRACTICE 78② (1) 2次方程式2x2+3x+k=0 の実数解の個数を調べよ。 (2) 2次方程式 4x²+2(a-1)x+1-α=0が重解をもつように,定数aの値を定め, そのときの重解を求めよ。 3章 2次方程式

例題74 解説で、どうやったら1行目の形から2行目の形に変わるのかわからないので教えていただきたいです！

126 重要 例題 74 1≦x≦5のとき、xの関数 y=(x-6x)+12(x-6x)+30 の最大値、 4 次関数の最 値を求めよ。 CHART & SOLUTION 4次式の扱い 共通な式はまとめておき換え 変域にも注意 p.30 の4次式の因数分解で学習したように, x2-6xが2度出てくるから, x²-6x=t とおくと y=t+12t+30 と表され,t の2次関数の最大最小問題として考え ることができる。 ここで注意すべき点は、tの変域は,xの変域 1≦x≦5 とは異なるということである。 1≦x≦5における x 6.xの値域がtの変域になる。 解答 x-6x=t とおくと t=(x-3)2-9 (1≦x≦5) xの関数 tのグラフは図[1] の実 線部分で、tの変域は -9≤t≤-5 yをtの式で表すと y=t+12t+30=(t+6) ²-6 ① における tの関数yのグラフ は図 [2] の実線部分である。 ① において, y は t=-9 で最大値3 t=-6 で最小値-6 をとる。 t=-9 のとき 図 [1] から t=-6 のとき x=3 PRACTION x2-6x=-6 [1] [2], O 1 3 51 い 11 最大 1 1 1 1 1 最小 I/ 11 すなわち x2-6x+6=0 これを解いてx=3±√3 ②,③は 1≦x≦5 を満たす。 以上から x=3 で最大値3, x=3±√3 で最小値-6 をとる。 17 1/ -5 -6 [1] グラフは下に凸で x=3は定義域 1s の中央にあるか x=1,5 で最大値 x=3 で最小値- をとる。 [2] グラフは下に凸で t=-6 は定義域 5 右寄 あるから,yは t=-9 で最大値 t=-6 で最小値 をとる。 Fin 関数はxの式で られているから、最大 最小値をとる変数の値 で答える。