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を求め
380
思考プロセス
に文字を含む
例題224 関数の最大 最小〔
関数f(x)=x-6x+9x-1 の区間 t ≦x≦t + 1 における最大値 M (t)
を求めよ。
<< Action 関数の最大･最小は, 極値と端点での値を調べよ
場合に分ける
区間 ≦x≦t + 1 に文字が含まれている。
tの値が大きくなるほど, 区間の全体が右側へ動いていくことから,
場合分けの境界を考える。
(極大となる点を)
区間に含む
X
(極大となる点を)
区間に含まない/
扇 f'(x) = 3.x-12x+9=3(x-1)(x-3)
f'(x) = 0 とおくと
x=1,3
よって, f(x) の増減表は次のように
なる。
1
|... M(t)=(極大値)
0
t=
3
f'(x) +
0 +
f(x) 7 3 s -1 7
ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。
ここで, f(t)=f(t+1) となるt の値は
ピー 6t+9t-1=(t+1)-6(t+1)2 +9(t+1)-1
t³-6t² +9t-1 = t³-3t²+3
整理すると 3t-9t+4=0
9±√33
よって
6
グラフより, M(t)=f(t) = f(t+1)
t =
/区間の両端での
値の大小を考える
9+√33
6
[画
となるtの値は
(ア) t + 1 < 1 すなわち t<0のとき
M(t)=f(t+1)
= t³-3t² +3
N
O
It Itt!
境界となる
両端の値が等しいときを考える
f(t)=f(t+1)
t+1
t 3
N
t+1
例題219
幅
[xx]
右側へ動いていく
9-√33
のときは、
6
最小値がf(t)=f(t+1)
となるときである。
とき
(イ) t < 1st +1 すなわち 0≦t<I
のとき
(ウ) 1≦t<
(1) t
M(t)=f(1)=3
M(t) = f(t)
(ア)~(エ)より
練習 224.
9+√33
6
9+√33
6
M(t)=33
のとき
M(t)=f(t+1)
=ピ-612 +9t-1
t³-3t² +3
のとき
a =
= t³-3t²+3
としてよい。
y
$3
t-612 +9t-11≦t<
t+(t+1)
2
9+√33
6
Of
t < 0,
(0 ≦t < 1 のとき)
<t< 9+√33
6
= 3 すなわちt=
1+1
5
2
stのとき
のとき
Point f(t) = f(t+1) となる点
例題224 では、関数 f(x) に対して f(t)=f(t+1) になる求め
た。
f(x) が3次関数の場合, x = α で極値をとっても, 曲線 y=f(x)
は直線x=α に関して対称ではないことに注意する。
〔誤答例〕
f(t)=f(t+1) となるのは, x=3 区間 t≦x≦t+1 の
中央にあるときであり
t+(t+1)
2
一方, f(x) が2次関数の場合, y=f(x)は放物線であり､軸がx=a
である放物線は, その軸に関して対称である。 よって, f(t)=f(t+1)
となるのは, a tt+1の中央にあるときであり
すなわちt=a-
1830
2
KISISITIK
|x-1 が含まれるとき。
最大値をとるxの値を求
める必要がないから、
9+√33
6
の場合を分
けずに考える。
t=
x=t+1のときに最大値
をとる (7) (エ)の場合をま
とめる。
非対称
VIV
ALA
y=f(x)
非対称
[対称]
VTV.
3r²+2のt≦x≦t+1 における最大値を求めよ。
15章 関数の応用
11
