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基本 例題 20 条件式がある恒等式
00000
x+y-z=0, 2x-2y+z+1=0を満たすx, y, zのすべての値に対して
ax2+by2+cz2=1が成り立つという。
(1) y, zxの式で表せ。
(2)定数a,b,cの値を求めよ。
指針
[類 東京薬大]
基本 15
「すべての実数x, y, zに対して成り立つ」とあるとき, x, y, zの間に関係がないな
x, y, zの3文字の恒等式。 しかし、問題の x, y, z の間には次の関係がある。
2x-2y+z+1=0.
x+y-z=0
①
例えば,xの値を1つ定めると, ①,② から, y, zの値が定まる。 したがって,次の
解答のように,xだけの恒等式に直して考える。
CHART 条件式文字を減らす方針で、計算しやすいように
なぜ?たす?
(1)x+y/z=0 … ①, 2x-2y+z+1=0 … ② とする。 | x, z をy,またはx,yを
①+② から
で表すこともできる。
解答
3x-y+1=0
したがって
y=3x+1
① ×2+② から
4x-z+1=0
したがって
z=4x+1
(2)(1)の結果を ax + by + cz2=1に代入すると
ax2+6(3x+1)2+c(x+1)=1
ただし,その場合
y-1
x=-
4
のように、分数が出てき
計算が煩雑になる。
展開してxについて整理すると
d
( a +96+16c)x2+(66+8c)x+b+c-1=0
これがxについての恒等式であるから
a+96+16c=0,66+8c= 0, 6+c-1=0
この連立方程式を解いて
係数比較法。
a=12,6=4,c=-3
まず, 第2式, 第3式-
解いて, 6, c を求める
条件式が与えられた場合
検討
上の指針の等式①,②は,x,y,zの満たす 条件式である。 つまり,x, y, zは自由
動けるのではなく、 ① ② の条件のもとで動く。 ①,②から
y=3x+1, z=4x+1
とするとは自由に動けての値を1つ定めると
の値は自動的に定まる。そこ
