4 三角関数の極限/ェ→0以外の場合
次の極限値を求めよ.
(1) limVェ+3 sin (Vェ+2 -Vェ+1)
エ→0
(滋賀県立大)
sin.x
(2) lim
C→T I-π
(城西大·理)
sin 0
lim
=1に結びつける
三角関数の極限の基本は, この公式に結びつけることである.そのた
0→0
0
めには,式変形をしたり, 文字を置き換えたりして, ●→0となる部分を作り出すことが必要である。
(1)の場合,見かけはェ→であるが, sin の中身Vェ+2-Vェ+1 は818 の不定形である.ここ
が0に収束するか,まず調べてみるところである.もちろん, “分子を有理化”する。
(2)の場合,c→πのとき, ェーェ→0である.→πのままでは扱いにくいので,
0に近づく極限にするように置き換えるのが基本
である。-π=0とおけばよい。
■解答
(z+2)-(エ+1)
ェ+2 +/ェ+1
であることに注意して, 変形する。
1
Vェ+2 +Vェ+1
全z+2 -(z+1
Vェ+2 -/ェ+1
(1)(ェ+2 -Ve+1 =
(ェ)
1
の分母·分子にVe+2 +Vz+1
を掛けて、分子を有理化する。
1
Vェ+3 sin(Vz+2-Vz+1)=Vェ+3 sin
Vz+2 +/z+1
1
sin
Vエ+2 +Vエ+1
Vェ+3
Vェ+2 +/ェ+1
【(2)の別解)
詳しくは,○6 で取り上げるが,
微分係数の定義に結びつけて求
めることもできる。
[解]f(z)=sinrとおくと,
f(元)=0,
f'(z)=cos.
であるから,
1
『ェ+2 +/ェ+1
3
1+
Vェ+3
Vェ+2 +Vェ+1
VI
I+/T
(ょ-
(ェ→8)
2
ここで,
2
1+
1
1+
f(z)-f(x)
1
与式 = lim
I-T
したがって, lim①:
エ→T
2
= f'(π)=cosπ=ー1
エ→0
