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Mathematics Junior High

この問題の②の答えは8N-15となるのですが、 10n-25はダメなのでしょうか?こちらでも計算できる気がするんですけど。

「1辺の長さがncm(nは3以上の整数)の正方形の (5) 次は、先生,Aさん,Bさんの会話です。これを読んで,下の①, ②に答えなさい。 18ベ 2 1列目 2列目3列目 統,横をそれぞれ1 cm間隔で区切り,左上のマス 1行目 かんかく 1 8 7 から反時計回り (左回り)に1から順に過巻き状に自 2行目 2 9 6 然数を書き入れます。図1はn=3のときの目然 数の並び方,図2はn=4のときの自然数の並び 3行目 3 4 5 図1 方を示しています。また上から順に1行目,2行 1列目 2列目 3列目 4列日 日,3行目, 。とし、左から順に1列目,2列 (込) 1行目 目,3列目, …。 とします。」 1 12 11 10 2行目 2 13 Aさん「例えば、n=3のときの『3行目·2列目」の目 16 9 然数は4で、n=4のときの「1行目·2列目」の 3行目 3 14 15 8 自然数は12ですね。」 4行目 4 5 6 7 先生「そのとおりです。それでは, n =4のときの「1行 図2 目·2列目」の自然数である12を計算で求めるに はどのように考えたらよいでしょうか。」 1列目 2列目 3列目 4列目 9分 1行目 Aさん「n= 4のときの『1行目·2列目』」の自然数は, 2行目 2 |4) 外側一回りの12個のマスの中で最も大きい数なの で、外側一回りに並ぶマスの個数を数えればよさそ 3行目 ( 22 4行目(4 2021P う5 6 37 を うです。図3のように, 外側一回りを4つの部分に 分けて考えると,『(4-1)×4 =12」 と求めるこ とができます。」 1列目 2列目 3列目 4列目 Bさん「図4のように, 全体のマスの個数から,外側一回り 1行目 以外のマスの個数をひいて, 「42-(4-2)?=12」 2行目 と求めることもできますね。」 3行目 先生「どちらも良い考え方ですね。 同様に, n=5のと きの「1行目·2列目」 の自然数を求めてみましょ 4行目 う。」 図4 105) 1) n=5のときの『1行目· 2列目」 の自然数を求めなさい。(4点) れが5以上の整数のときの「3行目· 3列目」 の自然数を, nを使った最も簡単な式で表しな さい。(5点) 第三回 の

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Mathematics Senior High

回答の波線の>0をつけれる理由を教えて頂きたいです

(3) 漸化式を変形して, 一般項 anをnの式で表すのは難しい。そこで, (2)で示した不等 1p.174 基本事項3,基本 105 OOO00 192 里要 例題113 漸化式と極限 (5) … はさみうちの原理 (2) 3-an+1<る(3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<an<3を証明せよ。 (3) 数列 {an} の極限値を求めよ。 (類神戸大 指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利用。 (2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0 であることを利用。 式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列(3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべての nについて pnミ anSgn のとき lim pn=limgn=αならば liman=α n→0 n→0 n→0 なお,次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 のとする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<as<3 n=k+1のときを考えると, 0<ax<3であるから (数学的帰納法による。 10<a<3 an+1=1+V1+ak >2>0. aた+1=1+V1+a <1+V1+3 =3 40<a。 から 1+a>1 ~w Aa<3から 1+a <2 したがって 0<ab+1<3 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-/1+an = 3-an 2+V1+an (3-an>0であり, a,>0か ら 2+/1+a,>3 (3) (1), (2) から 0<3-a.s(-)(3-a) 1 n-1 1n-1 n22のとき,(2) から ()(3-a)=0であるから ロ lim 3-a<ロ-0) <(a-a <ロ) n→0 lim(3-an)=0 n→0 したがって liman=3 n→0 -1

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