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基本 例題136 整数の性質の証明
G8
OOC
9べての自然数nについて、42n+1+3"+2 は 13 の倍数であることを証明せよ。
重要139
基本 135
指針> このような自然数nに関する命題では、数学的帰納法が有効である。
n=kの仮定 -→n=k+1 の証明 の過程においては,
Nが●の倍数→N=©m (m は整数)
を利用して進めることがカギとなる。すなわち
42k+1+3*+2-13m (m は整数)とおいて一n=kの仮定
42(k+1)+1+3(k+1)+2 が13×(整数)の形に表されることを示す。 ーn=k+1の証明
このように,数学的帰納法の問題では, n=k+1 の場合に示すべきものをはっきりつかん
でおく ことが大切である。
解答
「42カ+1+3"+2 は 13の倍数である」 を①とする。
4°1+1+31+2=64+27=91=13·7
[1] n=1のとき
い
よって, ① は成り立つ。
[2] n=k のとき, ① が成り立つと仮定すると
42k+1+3*+2-13m(m は整数)
の
(42k+1+3*+2 は 13の倍数。
とおける。
n=k+1のときを考えると,② から
42(k+1)+1+3(k+1)+2=4°+42k+1+3k+3
=16(13m-3*+2)+3*+3
=13·16m-(16-3)·3*+2
=13(16m-3*+2)
(2から
4k+1=13m-3k+2
これを代入。
16m-3k+2 は整数であるから, 42(k+1)+1+3(&+1)+2 は 13の倍
の断りを忘れずに。
数である。
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて①は成り立つ。
別解1. 二項定理を利用
42カ+1+3*+2=4·4°n+3°.3"=4·16"+9·3*=4(13+3)”+9·3*
=4(13"+»Ci13"-1.3+,C213"-2.3°+… +,Cn-113·3"-1+3")+9·3" ー二項定理を適用
=4·13(13"-1+,Ci13"-2.3+»C2l3"-3.3°+…+Cn-137-1)+4·3*+9·3
結論を書くこと。
整数
=13·3"
よって,4°n+1+3"+2 は 13の倍数である。
別解2. 合同式を利用
16=3(mod 13)であるから 4"=3" (mod 13)
この両辺に3"+2=9·3" を加えると
ゆえに,4°n+1+3"+2 は 13の倍数である。
よって 4+1=4·3" (mod 13)
4°n+1+3*+2=4·3"+9·3"=13·3"=0 (mod 13)
すべての自然数nについて, 3"-2"は 25 の倍数であることを証明せよ。
136
練習
の
【関西
