あるが、S(g)は p加を除いた約数の和であるから, S(pa)=1+p+q となる。
2以上の自然数nについて, nを除くnの正の約数の和を S(n)とする
nを除く n の正の約数の和(完全数)
考え方 p,qは素数より, paの正の約数の和は, (1+)(1+q)=1+p+q+加 (b.418参で
例題 244
2以上の自然数nについて, nを除く1nの止の約数の和を Sc
とき,次の問いに答えよ。
(1) S(pa)= pa を満たす素数p, q(p<q)を求めよ。
(2) S(rs)=r's を満たす素数r, s (r<s) を求めょ。
解答(1) か, qは素数より, 加以外の 加の正の約数の和は。
p.418参照
したがって, S(pq)=D pa のとき,1+p+q=pq より。
pq-p-q=1
(カ-1)(q-1)=2 0
ここで,か, qは素数で, 2玉かくq であるから、
p-1, q-1も整数で、
したがって, ①を満たすのは,
よって,
(2) r, sは素数より, r's以外のr'sの正の約数の和は,
(1+r+r)(1+s)-r's=1+r+r+s+rs
s
この式変形はp.m
参照
1Sp-1<q-1
p-1=1, q-1=2
p=2, q=3
くこのとき、加=
ata
したがって,S(r's)=r°s のとき,
1+r+r°+s+rs=r°s より,
ア2+r+1=(?-rー1)s 1①
ここで,r, sは素数で, 2<r<sであるから,s23
また, r22より,r-121 であるから、
p2ーr-1=r(r-1)-122×1-1=1>0』
したがって, ①より,
J
O
sについて整理
S これを整理すると,
おコいこの不等式を解いて, 1-、3<rs1+V3
+r+123(rーァー1)
r-2r-2<0
1-V3 SrS1+/3
rは素数であるから,
①に r=2 を代入して,
これは r<s を満たす。
よって,
3 =1.732…より)。
ア=2
みの1-/3=-0.32…
1+/3=2.732…
おな
S=7
r=2, s=7
主》2以上の白価前
このとき、s=8
