第4章 微分法の応用 229
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f(x)=(1-xe* とする.実数aに対して, 点 (a, 0) を通る, 曲線y=f(x) の接線が2本
引けるとき,aの値の範囲を求めよ.
f(x)=(1-x)e* より
f'(x)=e*+(1-x)e*
=-xe
f"(x)=(1+x)e*
y=f(x) のグラフの概形は
右の図のようになり,曲線に
2点以上で接する直線はない.
YA
2
接点の座標を (t,f(t)) とすると,接線の方程式は,
y-(1-t)e'=-te(x-t)
点 (α, 0) を通るから,
0-(1-t)ef=-te(a-t)
1-t=t(a-t)
曲線 y=f(x) は,
x <-1 のとき,下に凸
x>-1のとき,上に凸
なので、異なる2点で接する
直線はない.
<y-f(t)=f(t)(x-t)
t2-t+1
t=0 は解ではないので,
=a ......
...1
点(α, 0) から y=f(x)に引ける接線の本数は,①の異な
実数解 tの個数に等しい.
つまり、gt)=
直線 y=a の共有点の個数に等しい。
0g(t)=(2t-1).t-(ピーt+1)・1
t-t+1
とおくと,y=g(t) のグラフと
t2
t-1_(t-1)(t+1)
t2
t²
g'(t)=0 とすると,t=-1, 1
したがって,g(t) の増減表は次のようになる.
<両辺をe (≠0) で割る.
t=0 を代入すると,
(左辺) =1, (右辺) = 0
①を満たす tの値は,接点の
x座標である.
<y=g(t) と y=aの
共有点の個数
方程式 g(t)=aの
実数解の個数
I
接点の個数
接線の本数
AS
t
18
g'(t)
+
0-1
limg(t)=—oo
-1
...
0-
0
...
1
0 +
8
g(t)(∞)-3(-8) (8) (8) < 極値および定義域の端のよう
lim g(t)=∞
t→ +0
_limg(t) =∞
→+∞
8
81
limg(t)=-
y4y=g(t)
y=a
す (t→±0.t→土∞)を調べ
る.
0
8117
よって、右のグラフより、
接線が2本引けるときのαの
-3
値の範囲は,
a<-3, 1<a
