[2] n=kのとき成り立つと仮定し,n=k+1 のときも成り立つことを示す。
指針> ym)は, yの 第n次導関数 のことである。そして,自然数nについての間題である
重要158, p.21
基本 例題
nを自然数とする。
(1)y=sin2xのとき, y(m=2"sin(2x+)
であることを証明せよ。
関数S(x)=
(1-x)
(2) y=x"の第n次導関数を求めよ。
重要
p.265 基本事項
V1
n
が成り立つこと
注意 数学的帰納法による証明の要領(数学 B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
121 カ=kのとき成り立つと仮定し, n=k+1のときも成り立つことた。
指針> 自然数,
n=k+1
解答
これを
n=kの
(1) yn)=2"sin(2x+
のとする。
[1] n=1のとき y=2cos2x=2sin(2x+,)であるから, ① は成り立っ
CHART
π
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
|解答
証明したい
S(2
n=k+1 のときを考えると,②の両辺をxで微分して
kr
yle)=2* sin(2x+
2
y(k)-2*+1 cos(2x+
dx
d
2005(
。ost
kπ
224
ぜlcos2z
yh=2** sin(2x+ +) Vet)た
2
ゆえに
y k+1)=24+1sin(2x+
よって, n=k+1のときも①は成り立つ。
「1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
=2k+1sin{2x+
72
(1
