EX x2 +1 で割ると3x+2余り, x+x+1で割ると2x+3余るようなxの整式のうちで,次数が最
④38 小のものを求めよ。
HINT整式を P(x) とし, 割る式x2+1, x2+x+1の積(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの割り算の
基本等式 P(x) = (x2+1)(x²+x+1)Q(x)+R(x) に注目する。 P(x) を x2 +1, x2+x+1
で割ったときの余りは、 R(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しい。
X=(3)0
整式 P(x) を4次式(x2+1)(x2+x+1) で割ったときの商を
Q(x), 余りをR(x) とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x2+1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) R(x) は3次以下
P(x) を x2 +1, x2+x+1で割ったときの余りは,R(x) を
x2+1, x2+x+1で割ったときの余りにそれぞれ等しいから,
求める整式は R(x) [3次以下の式] である。 +48-8)\
R(x) を x2 +1で割ったときの商は, 1次式または定数であり,
条件から R(x)=(x2+1)(ax+b)+3x+2
E=T+DS
S
同様に
R(x)=(x2+x+1)(ax+c)+2x+3
と書ける。 よって
(x2+1)(ax+b)+3x+2= (x2+x+1)(ax+c)+2x+3
これは x についての恒等式である。
両辺を展開して, 整理すると
ax²+bx2+(a+3)x+b+2=ax²+(a+c)x2+(a+c+2)x+c+3
a=1,b=2,c=1
^)\
←4次式で割ったときの
余りは, 3次以下の式ま
定数 存
Q.
R(x)=(x2+1)(x+2)+3x+2=x+2x²+4x+4
5+3=(1)\
ANT
←3次以下の式 R(x) を
2次式x2+1で割ったと
のは、 1次式または
係数を比較して b=a+c, a+3=a+c+2, 6+2=c+3比較法。
これを解くと
したがって、求める整式は
定数
X3
