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数が、もとの
[奈良]
000
基本
式となるため
域が一致するこ
解法。
とする。
y=√x+1-1 ......
① とすると
解答 ①から
√x+1=y+1
←このまま2系だめ?
基本 例題
12 関数とその逆関数のグラフの共有点(1)
00000
f(x)=√x+1-1の逆関数をf'(x) とするとき,y=f(x)のグラフとュー(八
y=f-l(x) のグラフの共有点の座標を求めよ。
指針
基本 10
①共有点実数解 逆関数f(x) を求め, 方程式 f(x)=f(x) を解いて共
有点のx座標を求める方法が思いつくが、これは計算が大変になることも多い。
そこで,y=f(x)のグラフとy=f(x)のグラフは直線 y=xに関して対称であ
ることを利用するとよい。 つまり,y=f(x), y=f(x)のグラフの図をかいて、
共有点が直線 y=x上のみにあることを確認し, 方程式 f(x)=xを解く。
27
1
章
x≧-1, y-1
f(x)の定義域, 値域を
調べておく。
逆関数と合成関数
y=f-1(x)/
xとyを入れ替えて
よって, x+1=(y+1) から
y≠bである
y=(x+1)2-1,x≧-1
すなわち f'(x)=(x+1)-1, x≧-1
x=(y+1)2-1
y
y=x
m
(x)の定
あるとき、
よって, f(x)=x とすると
y=f(x) のグラフとy=f'(x)のグラフは直線 y=x
に関して対称であり、図から、これらのグラフの共有
点は直線 y=x上のみにある。
y=f(x)
-1
0
-at
ら
√x+1=x+1
ゆえに
牛)
これを解くと
x=0, -1
関数
十分
両辺を平方して x+1=(x+1)2
これらのxの値は x≧-1 を満たす。
したがって, 求める共有点の座標は (0, 0, -1, -1)
別解 f(x)=f(x) とすると /x+1-1=(x+1)-1
ゆえに √x+1=(x+1)2
両辺を平方すると
f(x)=x を解いてもよ
い。
(x+1){(x+1)-1}= 0
から x(x+1)=0
方程式f(x)=f(x) を
解く方針。
x+1=(x+1)*015) [
よって (x+1){(x+1)-1}=0 ゆえに x(x+1)(x2+3x+3) = 0
√x+1-1=x
x-1であることと, x+3x+3=(x+2/23)+2400から
3=(x+1/2)+1/30から x=0-1
e
x=0 のとき y=0, x=1のとき y=-1
したがって, 求める共有点の座標は (0, 0), (-1, -1)
注意 y=f(x) のグラフとy=f'(x) のグラフの共有点は, 直線 y=x上だけにあるとは限
らない。
Jeb
例えば,p.25 基本例題 10 (2) の結果から,y=-2x+4 とy=-1/2x+2(x≧0)は互いに逆関
数であるが,この2つの関数のグラフの共有点には,直線y=x上の点以外に, 点 (2,0), 点
(02) がある。
練習
12
x1300
f(x)=-1/2x+2(x0)の逆関数をf'(x)とするとき,y=f(x)のグラフと
y=f(x) のグラフの共有点の座標を求めよ。
