(3)の問題についてです。なぜ答えがそうなるのか理解できません。 m2乗-4m+24=0を解くと解なしになりますよね？💦

268 2 次不等式 x2+2x+m(m-4)≧0が次の範囲で常に成り立つような定数 mの値の範囲を求めよ。 (1) x ≦1 (2) 1≦x≦4 (3) 4≦x

（2）で解答の青いマーカー部がわかりません。

ル) 2来 正の実数xについて,以下の問いに答えよ。 □(1) 自然数nに対し, 不等式x> が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。 n! (2) 前問で示した不等式を用いて極限値 lim を求めよ。ただし,α は実数の定数である。 x² x→∞ e (3) 前問の結果を用いて極限値 lim x log x を求めよ。 ただし, b は正の実数である。 x→+0 ('17 名古屋市立大薬)

まるで囲った部分はどのようにして導き出してるか解説していただけると助かります🙇‍♀️

の 32 の で 2 る 定数とする。 x≧0 において、常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう 234 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 00000 の範囲を定めよ。 基本229 f(x)=x²-3ax² + 4a LT, [xにおけるf(x) の最小値] >0 となる条件を求める。 導関数を求め、 f'(x)=0 とするとx=02 02a の大小関係によって, f(x) の増減は異 なるから、 場合分けをして考える。 (x)=x3x²+4a とすると f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) x=0.2a [1] 24 < 0 すなわちα<0のとき x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよ うになる。 ⑩ を満たすための条件は したがって a>0 f(x)=0 とすると 求める条件は、次のことを満たすαの値の範囲である。 x≧0におけるf(x) の最小値が正である」 ...... これはα<0に適さない。 [ [2] 2a=0 すなわち α=0のとき x sono f'(x) 4a>0 よって a>0 [[3] 24 0 すなわち α>0のとき 0 x≧0 におけるf(x) の x 増減表は右のようにな f'(x) る。 ①を満たすための条件 -4a³+4a>0 f(x)=3x2≧0でf(x)は常に単調に増加する。 ①を満たすための条件は f(0)=4a>0 これはα=0 に適さない。 ゆえに 2a<0 J 2a 0 x -4a(a+1)(a-1)>0 a(a+1)(a-1) <0 これを解くと a<-1,0<a<1 > を満たすものは 0<a<1 [1]~[3] から 求めるαの値の範囲は 0<a<1 0 f(x) 4a 2a 0 + f(x) 4a-4a³+4a 2a=0 0<2a 102a x 注意 左の解答では, [1] 2a<0, [2] 2a=0, [3] 240の3つの場合 に分けているが, [1] と [2] をまとめ, 2a≦0, 240 の場合に分けてもよ い。 なぜなら, 240のとき, x≧0ではf'(x)≧0 であるから x≧0でf(x) は単調に増加する。 ゆえに, x≧0 での最小値 はf(0) =4α である。 実際 に左の解答 [1] [2] を 見てみると、 同じことを考 えているのがわかる。 a (a+1)(a-1)の符号 a>0のとき a(a+1)>0 ゆえに a1 <0 としてもよい。 立つような定数αの値の範囲を 6 300 38 関連発展問題

(2)のしたがって以降からわかりません。 解説お願いします🙏

A 10km Bdkm C 4人 2人 [2] 右の図2のように, A地点B地点、C地点がこの順にあ り, A地点からB地点までの距離が10km, B地点から C 地点までの距離がdkm (d>0) である場合について考える。 A地点に4人, B地点に2人, C地点にc人 (c>0) がいるとする。 集まる場所はA地点から 図2 C地点までの間と考えてよいから、A地点から集まる場所までの距離を xkm (0≦x≦10+d) とし、移動コストをykm とする。 yは絶対値記号を一つ含むxの関数として与えられる。この関数はy= | に当てはまるものを、次の⑩~③のうちから一つ選べ。 4.x+2|x-10|+c(x-10-d) ② 4x+2(x-10)+clx-10-d である。 ケ ②x=16 ① 4x+2|x-10/+c(10+d-x) 4x+2(10-x)+clx-10-d (1) c=1, d=6のときについて考える｡ y が最小となるのはxの値がどのようになるときかを、 次の⑩⑥のうちから一つ選べ。 ただし, 例えば x = 11 のとき,かつ,そのときのみでyが 最小となるときは⑥を選択すること。 (0) x = 0 ①x=10 (3) 0≦x≦10 を満たすすべての実数 (4) 10≦x16 を満たすすべての実数 ⑥ x = β (10<B <16) (5) x = a (0 < a < 10) (2) B地点に集まるときのみ, 移動コストが最小となるようなcの値のうち,最も小さいもの は 最も大きいものは サ である。 (配点 15) (公式・解法集 6

（3の意味が全くわからないです。

基礎問 148 第5章 微分法 81 微分法の不等式への応用 (1) x>0のとき,> 1/2+x+1 が成りたつことを示せ. I (2) lim = 0 を示せ . H18 (3) limxlogx=0 を示せ. 精講 x→+0 (1) 微分法の不等式への応用は数学ⅡI・B 96, 数学ⅡI・B97で学習 済みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。 (2)は78,(3)は演習問題 79 にでています. 大学入試で,これらが必要になるときは, Ⅰ. 直接与えてある (78) ⅡI. 間接的に与えてある(演習問題79) ⅢI. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81 のいずれかの形態になっているのがフツウですが,たまに, そうでない出題も あります。 だから、この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん,証明 の手順もそうです。(1) や (2) 不等式の証明,(3) 極限という流れは 44,45で 学んだはさみうちの原理です。 解答 (1) f(x)=e_ (12/21) とおく. +: f'(x)=e*-(x+1), f"(x)=e-1 x>0のとき, e> 1 が成りたち, f" (x>0 したがって,f'(x) は x>0 において単調増加. ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき, f'(x) > 0 よって, f(x) は x>0 において単調増加. ここで, f(0)=0 だから,x>0のとき, f(x) > 0 žk, x>0 ©¢¾, eª > 1⁄2x²+x+1 y=e² 上の点(0, 1) における接線を 求めると, y=x+1 になります。 こ のとき,右図より y=er が y=x+1 より上側にあります。だから, x>0 では x+1, すなわち,f'(x) > 0 であることが わかります. (2) x>0 mčš, (1)±h eª> {/r²+x+1> {/r² 参考 lim -= 0 だから, はさみうちの原理より 2 x " 0< ... 0 演習問題 81 2x <<x²+2x+2 lim=0 注解答では,x+1を切り捨てていますが,そのままだと次のように なります. lim(-tlogt)=limax= また, lim-tlogt) = -lim (tlogt) t → +0 t→ +0 IC t→+0 (3) (2)において, x=log 3/12 とおくと,t+0 のとき,→∞ また,ex=elog/l=1 t' ポイント t→+0 lim IC et 0<- x=-logt だから, I→∞0 I limlogt0 すなわち, lim xlogx=0 x→+0 2 x+2+ -=0 lim X-00 = 0 を示せ . logr IC 2 I A (1) x>0 のとき,√x>10gを示せ. logr (2) lim y=ez 149 y=x+1 =0 lim xlogx=0 x→+0 第5章

この解き方ってダメですか？

172663 x = 1 0 ε = Y = a + b xx2gとき°=2a+b Y = ax + b₁z | =/2/² Jal`" (i), (ii) afla aba T GETT. (i) fath: > 12a + b = 5 (ii) | α + b = 3 2a+b=5 (ⅰ)を整理するとa=-2 (11) ²√54 a 2.b ン 2.1.7 b = 7 U (= 1²; 2 (a, b) = (-2, 7). (2) q 4 20 KOKUYO 30

マーカー部分に着いて教えてください

の *] 演習 例題225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 00000 aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう にαの値の範囲を定めよ。 基本220 指針 練習 解答 f(x)=x-3ax2+4aとして, [x≧0 におけるf(x) の最小値] > 0 となる条件を求める。 導関数を求め,f'(x)=0とすると x=0, 2a 02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる から 場合分けをして考える。 f(x)=x²-3ax2+4a とすると 不等 f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) f'(x)=0 とすると x=0, 2a 求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。 x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」 [1] 2a < 0 すなわち α<0のとき -------- x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう になる。 ① を満たすための条件は 4a>0 したがって a>0 これは α<0に適さない。 [2] 2a = 0 すなわち α = 0 のとき F(x)=x≧0, f(x)は常に単調に増加する。 *① を満たすための条件は (0)=4a>0 よって a>0 Ⅱ [3] 2a> 0 すなわち a>0のとき x≧0 におけるf(x) の増減 表は右のようになる。 ① を満たすための条件は -4a³+4a>0 ゆえに よって これを解くと a> 0 を満たすものは 0<a<1 [1]~[3] から 求めるαの値の範囲は これは α=0 に適さない。 xC f'(x) f(x) 4a 0 -4a(a+1)(a-1)>0 a(a+1)(a-1)<0 a<-1,0<a<1 f'(x) f(x) 4a 0 2a 0 -4a³+4a 0<a<1 2a<0 2a 0x + ..... + 2a=0 I 0 x [注意] 左の解答では, [1] 2a<0, [2] 2a=0, [3] 2a>0の3つの場合に 分けているが, [1] と[2] を まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場 合に分けてもよい。 なぜなら, 2a≦0のとき, x≧0ではf'(x) ≧0 であるから, x≧0 でf(x) は 単調に増加する。 ゆえに,x≧0での最小値は f(0) =4a である。 実際に左 の解答 [1] [2] を見てみ ると,同じことを考えている のがわかる。 e/-1 0 < a>0 のとき 0<2a a (a+1)(a-1)の符号 + a(a+1)>0 02ax ゆえに α-1<0 としてもよい。 343 6章 38 関連発展問題

オリスタ32 54(2) 全く分からないので考え方を教えてください。

24 54αを負でない実数,nを自然数とするとき, 次の不等式が成り立つことを示せ。 1 (1) 2a+1 1 2a+3 a+1 dx <Sax² 2x+1 < (2) 1/12/10g(2n+3)<1+1/1/3+ + <1+1/1/210g(2n+1) 2n+1

赤い丸で囲んであるところが全くわからないです…💦

重要 例題 232 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 PALER CH CHART 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0. また OLUTION 基本例題228 では,t の変化に伴ってxは常に増加 したが, この問題ではxの変化が単調でないとこ ろがある。 右の図のように、 t=0 のときの点をA, x座標が 最大となる点をB (t=to でx座標が最大になると する), t=π のときの点をCとする。 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少 に変わり, x軸方向について見たときに曲線が往 復する区間がある｡ したがって, 曲線 AB をy, 曲線 BC を とすると, 求める面積Sは CONTO S=Synx Synx と表される。・・･・・ 2008 y=2sint-sin2t=2sint-2sintcostanial =2sint(1-cost) よって, y=0 とすると 0≦t≦x から t=0, π 次に, x = 2cost-cos 2t から dx dt -=-2sint+2sin 2t =-2sint+2(2sintcost) =2sint(2cost-1) 0 <t<π において 1 FAVO dx - = 0 とすると, sint> 0 から dt 「 cost=- ゆえに π t=₁ よって、xの値の増減は右の表のようになる。 sint = 0 または cost=1+sajest 15 0<a Fachs C In t dx dt x よって,xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式 を立てる。また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からの積分に直 して計算するとよい｡ -3 t= を求めている。 y2 0 0 1 0000 y₁ 13 S 曲線が往復 している区間 (小 ... yA + 0 Hinf. 0≦t≦π のとき sint≧0,cost≦1 から y=2sint(1-cost) 20 としても,y≧0 がわかる。 0 A 1 t=0+ π 3 0 3 2 基本 228 *** •B TI [] t=to π 0 -3 ゆえに, osts におけるy をyi, sts におけるyを X=- 20030-caso =2-1 [ ] とすると, 求める面積Sは s=S²¸y=dx−Svidx ここで、0≦ osts において、 x=1のとき t=0, であるから また、において x=2のとき 一 であるから よって 3 x= のとき S² vidx=Sy dx ここで dt dt x=3のときt=" S²¸yzdx=Syddt t=7 s-Syndx-S² vndx-Syddi - Sydd dt dx -Sidedt + Sy dr dt-Sydx dt =S(2sint-sin2t)(−2sint+2sin2t)dt = S-2s -2sin22t+6sin2tsint-4sin't)dt =2f (sin2t-3sin2tsint+2sint)dt 4t sin 2t dt-S¹-cost dt-t-sin 4- ・dt=- 2 (3sin2tsintdt-3" 2 sint cost-sintdt EES S2 sintdt=2^1-69824dt=[1-1/2 sin24] 月 sin'tdt=2f"1-cos2tat=| =1 S= = -65 sint cost dt = 65" sinºt(sint)dt = 6-sin't] =0 =6 Y -3 注意 と は,xの式と しては異なるから |Sydx-vidx=S_¸ydx としてはいけない。 一方の式としては同じ y=2sint-sin2t) で表さ れる。 355 Sf(x) dx = -f(x) dx Sf(x) dx + f(x) dx -Sof(x)dx ← S₁ƒ (x) dx = -S₁ƒ (x) dx 1-cos 20 2 inf. 積和の公式から 3sin2tsintdt sin'0= ---√ (cos (cos 3t-cost)dt -sin 3t- =0 したがってS203 としてもよい。 [inf. この例題の曲線は, カージオイドの一部分である(p.103 補足参照)。 Tri y PRACTICE・・・･ 232 ④ 媒介変数tによって, x=2t+t, y=t+212 (-2≦t≦0) と表される曲線と, y軸で 囲まれた図形の面積Sを求めよ。 ds de 8章 25 20

(2)についてです。 両辺を微分したものをfx と置いたのはなぜなのか、fx は何を表しているのかを教えてください🙏 また、g’x＝gx × fx ＞0となるのはなぜなのかも解説して頂きたいです🙇‍♀️

132 (1) x>0のとき,log (1+2) と 1/17の大小関係を調べよ。 2002 2001 2001 2001 2002 2002 2002 2001 (2) 1+ 2 (1. 1+ の大小関係を調べよ.