基本例題 181 最大値・最小値から関数の係数決定 (1)
関数y=ex{2x²-(p+4)x+p+4}(-1≦x≦1) の最大値が7であるとき,正の定
数 の値を求めよ。
指針▷ 最大値をpで表して (最大値)=7とした♪の方程式を解く要領で進める。
ここでは, 定義域が-1≦x≦1であるから, p.305の基本例題179 同様, 極値と区間の端
点における関数の値の大小を比較して最大値を求める
なお, y=0 の解にはの式になるものがあるから、 場合分けして増減表をかく。
【CHART 閉区間での最大 最小 極値と端の値をチェック
.
解答
y'=ex{2x²-(p+4)x+p+4}+ex{4x-(p+4)}
=(2x²-px)ex=x(2x-plex
y'=0とすると x=0, 1/2
[1] 1/28 21 すなわちのとき
-1≦x≦1におけるyの増減表
は右のようになり, x=0で最大
となる。
よって
ゆえに p=3
これはp≧2を満たす。
[2] < < 1 すなわち0<p<2のとき
-1≦x≦1におけるy
の増減表は右のように
なる。
x=0のとき
p+4=7
x-1
y'
y
+
x-1
y'
y
0
20
極大
p+4
y=p+4
0 <p < 2 であるから p+4<6
また, x=1のとき
y=2e<6
よって, 最大値が7になることはない。
[1] [2] から p=3
+:
7
･・・・
0
20
|極大
p+4
Þ
2
0
8
+
1
1
極小 2
基本 179
◄(uv)'=u'v+uv'
(x=0 は定義域内にある。
=1/(>0) が0<x<1ま
たは x≧1のどちらの範囲
に含まれるかで場合分け
して増減表を作る。
< (最大値) = 7
場合分けの条件を満たすか
どうかの確認を忘れずに。
最大になりうるのは
x=0 (極大) または
x=1 (端点) のとき
e = 2.718······
6章
25
関数の値の変化、最大・最小
