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x,
2 領域と分数式の最大・最小
yが2つの不等式 x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
|最大値と最小値, およびそのときの x, yの値を求めよ。
y-2
y-2
x+1
の
・基本 122
連立不等式の表す領域Aを図示し,
指針
x+1 =kとおいたグラフが領域 Aと共有点をも
つようなんの値の範囲を調べる。 この分母を払ったy-2=k(x+1)
を通り,傾きがんの直線を表すから、傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
(1,2)
CHART 分数式 y-b
最大 最小
y-b
x-a
=kとおき, 直線として扱う
x-a
x-2y+1=0
①, x2-6x+2y+3= 0
2
YA
解答とする。連立方程式①,②を解くと
P
(x,y)=(1,1) (4,212)
5
②
-=kとおくと
ゆえに、連立不等式x-2y+1≦0, x2-6x+2y+3≦0 の表
す領域 Aは図の斜線部分である。 ただし, 境界線を含む。
y-2
3
(3
2
2
y-2=k(x+1)
(3)
RY
x+1
すなわち y=kx+k+2
③は,点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から, 直線 ③が放物線 ②に第1象限で接するとき
この値は最大となる。
② ③からyを消去して整理すると
x2+2(k-3)x+2k+7=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
D
4
=(k-3)2-1 (2k+7)=k-8k+2
直線 ③が放物線 ②に接するための条件はD=0であるか
ら, k2-8k+2=0 より k=4±√14
第1象限で接するときのkの値は k=4-√14
このとき、接点の座標は (√14-1, 4√14-12)
k(x+1)-(y-2 = 0,
x=-1, y=2のときん
についての恒等式になる。
→kの値に関わらず定
点 (1,2)を通る。
k=4+√14 のときは,
第3象限で接する接線と
なる。
次に,図から直線 ③が点 (1, 1) を通るとき,kの値は最
小となる。このとき k= 1-2 = -1/
Ak= y-2
ソニに代入。
1+1
よって
2
x=√14-1, y=4√14-12 のとき最大値 4-√14;
x = 1, y=1のとき最小値-
x+1
0r2+4x-y+2≦0 を満たすとき
の最大値
x-2
201
3章
1 不等式の表す領域
