考え方 自然数nに関する証明については,
考えてみよう.
(証明)(1) n=1のとき,P,=t+1=xより成り立つ。
ーソドッ
=kのとき、P=+1/2=xのを次の多項式)と仮定すると
th
+1 のとき, Ph+1=tk+1+
th+-
th
=xP-P-
tk+1
Phだけではなく,P-1 の次数についても仮定が必要になる.また,(II)
m
・・であるから, k-1≧1 より k≧2 でなければならない
+
ここで, Pa= (xk次の多項式) と仮定しているから,xPkはxの(k+1) 次
ある.しかし,P-1 については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからない
とすると, n=1, 2,
解答
(I) n=1のとき,Pi=t+==xより成り立つ.
1
t
\2
1
n=2のとき,P2=tt1/12=t+ t
(II)n=k-1,k(k≧2) について、題意が成り立つと仮定する.
2=x-2より題意は成り立
JPk-1 は xの (k-1) 次の多項式
すなわち,
[Phはxの次の多項式
k
tk+
Pk+1=t+1+ +1 1+1 = (1 + 1/1) (0 + 1 ) = ( 1^-1 +
tk+1
=xP-P-1
で表されると仮定す
tk
th
tk-
1
ここで,xPk は x(xのk次の多項式)より,
数列
+
(I) (II)より すべての自然数nについて題意は成り
立つ.
*)は成り立
よって、n=k+1のときも題意は成り立つ
次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の
多項式となる.
xの (k+1) 次の多項式となり、Pはxの(k-1)
Pa
(k-
はxの
式より,
Pk1
=(x
(k+1)
-xの(k-
注》 (I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法
2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る。
れていない) よって,(I)でP2 も調べておく必要がある.
なお,下の練習 B1.63は, フィボナッチ 千
