例題 250
3つの数が等差数列
1 等差数列と等比数列
**
数列 a, b, cはこの順に等差数列で、公差は正である.a+b+c=45,
abc=3135 のときa, b, c の値を求めよ.
(東京工科大)
考え方
等差数列であるから,この場合,どれかの項と公差がわ
かればよい.
等差中項
一般に,等差数列の連続する3つの項は次のようにおく
ことができる. (dは公差)
b-d
b
b+d
(i) a b c とおく.
26=a+c が成り立つ.
+d + d
(i) a, a+d, a+2d とおく.
(iii) b-d, b, b+d
<.
解
この場合は,() のおき方で解くとdが消去できて,計算しやすい.
公差をdとすると, 3つの数は, a=b-d,b,c=b+d
とおける.a+b+c=45, abc=3135 であるから,
[(b-d) +6+(b+d)=45 ......①
\(b−d)·b·(b+d)=3135
|36=45
①より,
6(62-d2)=3135
6=15
......
...2
…...①'
・②'
これを②'に代入して,
15(225-d2)=3135
これより, d=±4 d>0より,
d=4
したがって、3つの数は, 15-4, 15, 15+4
よって, α=11,6=15,c=19
(別解)
a,b,c が等差数列をなすから, 26=a+c ...... ①
また, a+b+c=45 ...... ②, abc=3135
..③
①,②より, 36 = 45 だから,
6=15
225-d2=209
d2=16
d=±4
①③より、 atc=30,ac=2091
acは2次方程式 2-30t+209=0 の2つの解であ 2数α,βを解と
るから,
(t-11) (t-19)=0 より,
t=11, 19
る2次方程式
x²-(a+β)x+α
=0
公差は正だから, a <c すなわち, a=11, c=19
よって,
a=11,6=15,c=19
Focus
a,b,c が等差数列
3つの数が等差数列
26=a+c
a-d, a, a+d とおく (dは公差)
