1
(1) x>0のとき、不等式2/23(x+2/2/27) 221
≧23を示せ。 また等号が成り立つのはどのようなときか.
(n=1, 2,3,...) で定める.
(2) 数列{an} を, a1=2, an+1= (₁
2
ant
3
1
(i) n ≧1 のとき, an> an+1>2を示せ.
(i) n ≧2のとき, an+1- <²/3
2
2
an
*+113502
また, an-an+1=an 3
2
よって, an> amt12/3/3
13-151
2.1
2
\n-1
(i) n≧1のとき, O<an+1- ( 12/3 ) 11 を示せ.
2
【
an
an
(2) (i) >2才と (1)より、帰納的に+1
2
2,2)
2
an+1 <kan k>0, an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, an<kn-la」 を導くことができる.
不等式の証明 A>Bを示すには, A-B>0を示すことを目標にするのが基本方針.
4 508-
■解答言
1
(1) 与式の分母を払い, 2x3-3.23x2+2≧0. これを示せばよい.
左辺を因数分解して, (x-21 )
2 (2+2号)
x>0のとき, ①≧0 (等号はx=23) であるから示された.
11th you!
an-1
を示せ.
1
an3-2
-³ (a + = =) = ²2-2² >0 (²:4>2²)
an>23)
2
an
3an²
1
2
+ ²/² (a₁ + - 1²/27) > 2 ³
an
別
(金沢大・文系)
11
・①t=23 とおくと,
2_212)^2/(cm-22
an
*)$
2x3-3tx2+3=(x-t) (21
AGO)(O) 3
よって, an>2/3/ (n≧1)が
つ これを帰納法で示すと
0<an <an-1より,
