例題 149 分散と標準偏差
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(1) 変量xのn個のデータの値 X1,X2, ······, xnがある.xの平均値を
x,x2の平均値を x2 とすると, xの分散 s' は, s2=x2(x)'と表
せることを証明せよ。ある
(2) 次の表は, A組とB組で同じテストを行った結果であり,この表を
使ってA組とB組の平均値を求めると,ともに5.3点であった。
得点(点) 0
1
A組 (人)
20
0
20
4
2
4
56
6
7
6
4
2
82
9 10 合計
0
020
考え方
B組(人) 0 2
2
2
2
2
3
3
1 1 20
この表から,A組とB組の標準偏差をそれぞれ求めよ.また,A組
とB組の得点の散らばりを比較するとどのようなことがいえるか。
(1) 分散の定義 s2=1xxxx)+(x-x)^2} を利用して,式を突
する.
n
(2) 分散の正の平方根が標準偏差である.
変量xの分散を s2 とすると,(
s2=x(x)=20(各生徒の得点の平方の和)-(平均値)2
解答
(1) 分散の値 s2 は,
s2=1{(x_x2+(x2-x)2+…+(xn-x)2}
n
偏差平方の平均値
147
分散である.
=
= {(x₁² + x2² + ··· +xn²)
n
A
-2x(x1+x2+…+x)+n(x)2}
(x2+x2+....+x²)
いちから
n
n
21/(x+x+…+x)+7(x)2
.....
…①
n
ここで,
n
(x12+x22+....+xn2)=x2
n
であるから, ①に代入して,
s² = x²-2x+x+(x)²
=x^2-2x)+(x)
=x(x)2
(分散)
よって, s2=x2-(x)2 と表せることが示された。(x2の平均値)
( xの平均値)
