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(1) 自然数m,
(2) Sn==1+
(n=1, 2, 3, …) とおく n→∞ のとき, S, は収束することが
3
知られている. lim SS とするとき, SS2が成り立つことを証明せよ。
4 不等式/定積分を短冊で評価
monは2m<nを満たすとする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ.
1
<
+
1
1
n+1-m
.+...+
(m+1)2
(n-1)²
n²
n (m-1)
(3) (2)のSについて,
1
1
= 1+ 2+ 3+ + 2
22
32
n
n+l-m
m(n-1)
1+
解答■
(1) 右図で,面積について
(図1の太線部)
<(図1の網目部)
=(図2の網目部)
(図2の太線部)
が成り立つ。 網目部の面積は
示すべき不等式の中辺であり,
n+11
(図1の太線部)=
1+
n→∞
n-1
2(n+1)
(1)の示すべき式の中辺は,右図の網目部の面積であ
るから,これは太線部の面積より大きい。この大小関係を用いると(1) の左側
和を定積分で評価
1 1
4
の不等式が示される. 右側も同様である.
右図の,太線からはみ出た網目部を見よう.
誤差を小さくするには
右図では4か所あるが, 左 (mに近い方) が大きく, 右の方が小さい. この部
分の面積の合計が誤差 (中辺と左辺の差) であるから, mを大きくすると誤差
が小さくなることがわかるだろう.
ma
(図2の太線部)= = √₂²-₁²7²/2² dx = |
n 1
m-l
•<Sn<1+
+ +
9
29
x²
18
n-3
4 (n+1)
1+1+1=408060
49
9
36
・S
YA
0
-dx=
n-1
n
61
36
∙y=
m
(3) S₂ = 1 + 1 2 + 1 2 + ( 12 + + 2)
1
22
32
42
/m+1.....
が成り立つことを証明せよ.
1 7*+1
xJm
I m-1
3
→∞ のとき, 左辺→ 右辺→2だから,SS2
"
2
より, n→∞として
だから題意は示された.
(2) S₂
Sa-1+ (12/12/12/18 +..+ 1/21)と(1)でm=”とした式から、
+
+:・・+
2² 32
図 1
1 1
+
-<Sn<1+·
n
29
18
n+1
1
n+1
1
・+
1
n m-1
+
n-3
+
4 9 3n
≤S≤
61
36
+
1
m
0
-y=1/1/2/2
n+1-m
m(n+1)
と (1)でm=4とした式から,
7 ....... 第112
m-1
12
n+1-m
n(m-1)
図2
(日本医大/問題文変更)
y=
===⁄/22
m
←
この式のカッコ内に (1) の不等
式を用いる.
nn+1 x
極限をとるので, 3/22に等号
がつく
"誤差" の大きい 初の方を具体
的に計算することがポイント.
←左辺:
49+9
36
9
右辺:
49+12
36
79
