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用
②
A
20 軌跡と方程式
① 軌跡
ある条件を満たしながら動く点が描く図形を、その条件を満たす点の軌跡とい
う。
例
① 定直線l からの距離がd (一定) である点Pの軌跡
→ 直線l からの距離がd, lと平行な2直線
(2 2つの定点A, B から等距離にある点Pの軌跡
線分 AB の垂直二等分線
3 交わる2直線l, m から等距離にある点Pの軌跡
→l, m のなす角を2等分する2直線
④ 定点Cからの距離が(一定) である点Pの軌跡
→点Cを中心とする半径の円
LP
B
次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。
P
基本 124
// (1) 直線y=1 からの距離が2である点P
20 軌跡と方程式
m
(2) 2点A(1,0), B(3, 0) から等距離にある点P
(3) 点 (1,2) からの距離が3である点P
57
(4)
軌跡を求める手順
① 条件を満たす点Pの座標を(x,y) として,Pに関する条件をx,yの式で
表し、この方程式が表す図形が何かを調べる。
②逆に、①で求めた図形上のすべての点Pが与えられた条件を満たすこと
を確かめる。
注意 ②において,点Pが条件を満たすことが明らかな場合は、確認を省略
してもよい。
ITEM
(基本 125 次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。
(1) 2点A(2,0),B(0, 6) に対して, AP=BP を満たす点P
(2) 2点A(-3, 0), B(3, 0) に対して, AP2+BP2=20 を満たす点P
((3) 2点A(-2,0), B(2, 0) に対して, AP2-BP2=16 を満たす点P
第3章 図形と方程式
月①,②の2つの交点を通る図形を表す。
図形 ③点 (1, 1) を通るとき
-6-2k=0
よって k=-3
これを③に代入して整理すると
x2+y2+4x+2y- 8=0
これが求める円の方程式である。
(3) ③ において, k=-1 とすると
-8x-4y+8=0
すなわち
2x+y-2=0
これが求める直線の方程式である。 84
124 (1) 求める軌跡は,
直線y=1 からの距離
が2, 直線y=1 と
平行な2直線である。
よって
直線y=3,
直線y=-1
(2) 求める軌跡は,線分
ABの垂直二等分線で
118
ある。
よって
直線 x=2
(3) 求める軌跡は,
点 (1, 2) を中心とする
半径3の円である。
8+0
1
6+8
318
31
P 0-1+ーズ
p
12 \3
O A B
P
TALIBA
y
O
S=8
(2) AP2
(1,2)
x
HOAA
P
BP2=
AP2 + B
125点Pの座標を(x,y) とする。
(1) AP2=(x-2)2+y2, BP2=x2+(y-6)
整理す
したが
逆に,
て, 上
よっ
(3) A
B
AP
整し逆
整
B)(0) OST
c
126
と
P
AP BP より, AP2 BP2 であるから
(x-2)² + y² = x² + (y-6)²9)
整理すると x-3y+8=0
したがって, 点Pは直線x-3y+8= 0 上にあ
る。
逆に、この直線上のすべての点P(x, y) につ
いて, AP = BP が成り立つ。
よって, 求める軌跡は 直線 x-3y+8=0
