すべて、ある、と言う分野に関してです。 疑問点はまとめておきました。

例題 47 次の命題の否定を述べよ。 また, その真偽を調べよ。 (1) すべての素数』について は奇数である。 (2) ある実数a, bについて (a+b)²≦0 CHART & SOLUTION 「すべて」 「ある」 を含む命題の否定 すべてとある を入れ替えて、結論を否定 すべてのxについて=あるxについて 「すべてのxについてである」は真 「あるxについてである」は真 解答 (1) 否定: ある素数について、かは偶数である。 2 は素数であるから 真 あるxについてヵ=すべてのxについて また,全体集合を U,条件を満たすx全体の集合をPとすると,次のことが成り立つ。 PU のとき P≠Ø のとき かつに (2) 否定 : すべての実数 a=b=0 のとき, (a+b)2=0 となるから @EX 「すべてのxについて」を 3 しない また「あるxについて」を P RACTICE 47 次の命題の否定を述べ (1) INFORMATION 「すべて」「ある」の命題とその否定 1. すべてのx, ある x 「任意のxについて｣ ｢常にか」など、 ..... という表現で, それぞれ用いることがある。 2. 命題とその否定Aの真偽は逆転する。 A : 真→A: 偽 (a + b)²>0< (2) 60. ! 「適当なxについて｣,「少なくとも1つのxについて」など toll? A : 偽→A: 真 基本41 (1) もとの命題は偽。 1032012 [ A

この問題において√3を有理数と仮定して、既約分数で表すことはわかりました。 しかし、このとき、既約分数以外は使ってはいけないのである有理数に限定されることも分かります。 ここで私が思ったのは，このある有理数に分類されない，ほかの有理数は、なぜ、無理数の証明に使えないのか？と... Read More

あることを p.76 基本事項・ を導く。 二有理数にな 〇和・差・ 有理数(か 里数の和・ 理数とは 2) = 2 基本例題 45 √3 が無理数であることの証明 命題 「nは整数とする｡ n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真 ある。これを利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。 基本 44 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法 3が無理数でない (有理数である) と仮定する。このとき,√3=r (rは有理数)と仮 定して矛盾を導こうとすると,「√3=y の両辺を2乗して,3=r」となり,ここで先に進 めなくなってしまう。そこで, 自然数a,bを用いて√3=0(既約分数)と表されると仮 定して矛盾を導く。 解答 3 が無理数でないと仮定する。 r このとき √3 はある有理数に等しいから、1以外に正の公約 数をもたない2つの自然数α, 6 を用いて√3=1 と表される。 ³ a=√36 a²=36² ...... ゆえに 両辺を2乗すると よって, d2は3の倍数である。 2 が3の倍数ならば,αも3の倍数であるから, kを自然数 として α=3k と表される。 これを①に代入すると 9k2=362 A, bat 既約分数 : できる限り 約分して, αともに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最 大公約数が1であるとき, αとは互いに素である という (数学A 参照)。 ◆下線部分の命題は問題 文で与えられた真の命 題である。 なお, 下線部 分の命題が真であるこ との証明には対偶を利 用する。 すなわち 62=3k² よって,62は3の倍数であるから, も3の倍数である。 ゆえに,αと6は公約数3をもつ。 これは,αと6が1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す る。 したがって,3は無理数である。 2章 6 論理と集合

⑴ゆえにでこうなるのはなぜですか〜😭

あることに注 数mを含む2 犬の判別式は、 の範囲で , D 変わる。 枚) 0 の2次 m-4)>0 m に満たす 場合 重解・虚数解をもつ条件 (5-m)x-2m+7=0 について 虚数解をもつような定数mの値を求めよ。 が整数のとき, 基本例題 41 2次方程式x2+ (1) (2) 重解をもつような定数mの値と, そのときの重解を求めよ。 CHART & SOLUTION 2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をDとすると b 重解をもつ 重解はx=- 2a 虚数解をもつ (1) 虚数解をもつ D<0 となるように,mの値を定めればよい。 ⇔D=0 D<O 解答 判別式をDとすると D=(5-m)²-4(-2m+7)=m²-2m-3 (2) 重解をもつD=0 =(m+1)(m-3) (1) 虚数解をもつための条件は すなわち (m+1)(m-3) <0 mは整数であるから m=0,1,2 D=0 (2) 重解をもつための条件は すなわち (m+1)(m-3)=0 ゆえに m=-1,3 また, 重解は x= Dan 5-m 2 m=-1のとき, 重解はx=-3 m=3 のとき, 重解はx=-1 00000 P RACTICE 41 ② 基本40 D<0 ゆえに-1<m<3 (2) 2次方程式 71 A$ARFOO 0 ax²+bx+c=0が重解 をもつとき, D=0 であ るから, 重解は b 2a 〓ー 2章 x=±√ 2a つまり 2次方程式が重 解をもつ場合、その重解 は係数αと6だけから 求められる。 INFORMATION 上の例題の(2) において よってx=-3 m=-1のとき, 方程式は x2+6x+9= 0 から (x+3)=0 m=3のとき, 方程式は x2+2x+1=0 から (x+1)2=0) よってx=-1 このように, 検算も兼ねてもとの方程式に代入して重解を求めてもよい。 しかし,結 局重解は1つしかないから、 解答のようにして求める方がスムーズである。 5 2次方程式の解と判別式

(2)の問題で D＞0の時だけm＞0 を入れるのはなぜですか？？

0 本例題 40 解の種類の判別 mm は定数とする｡ 次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1) 2x²+8x+m=0 CHART & SOLUTION 2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をD=62-4ac とすると D > 0 ⇔ 異なる2つの実数解をもつ DE (2) mx²-2(m-2x+1=0 D=0 ⇔ 重解をもつ 0=5+3 5+²x D < 0 ⇔ 異なる2つの虚数解をもつ 特に, b=26'′ のときは、11 (1) 判別式をDとすると を用いるとよい。 ac FATINOAR (2) 問題文に｢2次方程式｣ とあるから, (x2の係数) ≠0 すなわち m≠0 であるこ 意する。 √3+√718400 D=4-2.m=16-2m=2 (8-m) ① かつ D> 0 すなわち D={-m-2)-m・1=m²-5m+4=(m-1)(m-4) のとき, <00<m<1,4<m mの値 D0 すなわち m<8のとき, 異なる2つの実数解をもつ。 D=0 すなわち m=8のとき,重解をもつ。符号カ D<0 すなわち m>8のとき, 異なる2つの虚数解をもつ。 (2) 2次方程式であるから m=0 ① 判別式をDとすると 異なる2つの実数解をもつ。 ① かつD=0 すなわち m = 1, 4 のとき, 重解をもつ。 ① かつ D<0 すなわち1<m<4 のとき 1. 基本 異なる2つの虚数解をもつ。 ← 文字係数 次方程式 P RACTICE 40 ② SREA mは定数とする。 次の2次方程式の解の種類を判別せよ (1) r²-2mr 12 ◆ m につ It (m) の解 m< と① 範囲。 INFORMATION 「2次方程式」か,「方程式」か 上の例題の(2) において, 「2次方程式」 という断りがないとき, m=0,n 分けする。m=0のとき, 1次方程式 4x+1=0 となり,1つの実数解

赤のマーカーが引いてあるところがそうなる理由を教えてください。

重要 例題 82 折れ線の長さの最小 2,5),B(9,0)とするとき, 直線 x+y=5上に点Pをとり, AP+PB を 最小にする点Pの座標を求めよ。 [日本獣畜大] 基本 78 CHART & SOLUTION 折れ線の問題には線対称移動 直線l:x+y=5 に関して2点A,Bが同じ側にあるから考 えにくい｡ そこで、直線lに関してAと対称な点A'をとると AP+PB=A'P+PB≧A'B 等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき である。 ゆえに,直線ℓと直線A'B の交点が求める点Pである。 2点A,Bは直線lに関して同じ側にある。 直線l:x+y=5 ① に YA 関してAと対称な点を A' (a, b) とする。 AA'il から b=(-1)=-1 よって a-b=-3 ② 線分 AA' の中点が直線l上にあ 2+a 5+b るから + 2 =5 5 ...... A 3 0 A -2 MOITUJO 23 TRAND 5 Po 0, -25 B 9 l TĀS ゆえに A'(0, 3) よって a+b=3 ② ③ を解いて a=0, b=3 このとき AP+PB=A'P+PB≧A'B ● よって, 3点A', P, B が一直線上にあるとき, AP+PB は 最小になる * x 9 直線A'B の方程式は y +1/3= -=1 すなわち x+3y=9 ④ 直線ABと直線l の交点を Po とすると,その座標は ① ④ を解いて x=3, y=2 ゆえに Po(3, 2) したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は (3, 2) A' 750 P B l ◆直線lに関して点Pと 点Qが対称⇔ [1] PQ+l [2] 線分PQの中点が 直線l上にある ←直線 AA' はx軸に垂直 ではないから α =2 垂直傾きの積が -1 ←線分 AA'の垂直二等分 線上の点は, 2点A,A' から等距離にある。 よって AP=A'P *2点A',B間の最短経 路は, 2点を結ぶ線分 A'B である。

このやり方ってあってるのでしょうか？？ （黄チャート微積のところです）

74 176 2曲線が接する条件 動画共 重要 例題 2つの放物線y=x2 と y=-(x-α)2 +2がある1点で接するとき,定数 aの値を求めよ。 [類 慶応大] CHART SOLUTION 2曲線 y=f(x), y=g(x)がx=b の点で接する条件 f(p)=g(b) かつf'(p)=g' (b) ｢2曲線が接する」 とは, 1点を共有し, かつ共有点に おける接線が一致すること(この共有点を2曲線の接点 という)。接点のx座標をとおいて 接点を共有する を満たすα, pの値を求めればよい。 が成り立つ。 よって f(x)=x,g(x)=-(x-α)2 +2 とすると f'(x)=2x,g'(x)=-2x+2a 2曲線が1点で接するとき,その接点のx座標をヵとすると f(p)=g(p)_h_ƒ'(p)=g'(p) 接線の傾きが一致する ⇔ f'(b)=g' (b) p²=−(p—a)²+2 ・① 2p=-2p+2a ②から a=2p これを①に代入して p²=-(p-2p)² +2 ゆえに p²=1 これを解いて p = ±1 ③ から,α の値は a=-2 yA 1/ ⇒ f(p)=g(p) = ((d)g, p=-1のとき α=-2, p=1のとき α=2 -10 ly=f(x) y=g(x) X 基本 174 a=2 p y=g(x) | ▲177 <-f(p)=g(p) ･･･接点のy座標が一致 381(55A_ƒ'(p)=g'(p) el ･･接線の傾きが一致 ←g(x)=-(x-a)^+2 =-x2+2ax-a²+2 e を意味する。 x &p²=1 263 xDS=1-xp inf. 接点の座標は ly=f(x)+n-x(1-a=-2のとき (-1, 1) a=2のとき (11) 接線の方程式は 2から a=-2のとき 01 (I'ー) (1-y=-2x-1 a=2のとき y=2x-1 6

数Ⅰの二次関数の問題です。 「d>0であるから、dの2乗が最小となるときdも最小となる。」という断りが重要な理由を教えていただきたいです…！よろしくお願いします！！

18 00000 最大・最小の文章題 (2) 基本例題 67 座標平面上で, 点Pは原点Oを出発して, x軸上を毎秒1の速さで点 (6,0) まで進み, 点Qは点Pと同時に点(0, -6) を出発して、 毎秒1の速さで原点 0まで進む。 この間にP, Q間の距離が最小となるのは出発してから何秒後 ② 基本 66 か。 また、その最小の距離を求めよ。 CHART & SOLUTION √f(x) の最大 最小 平方したf(x) の最大・最小を考える t秒後のP, Q間の距離をdとすると, 三平方の定理から d=√f(t) の形になる。ここで d>0 であるから, d² = f(t) が最小のときも最小となる。 解答 出発してから t秒後の P Q 間の距 離をdとする。 P Q は 6 秒後にそ れぞれ点 (6,0),(0, 0) に達するか ら << 0≤t≤6 このとき, OP=t, OQ=6-tであ るから, 三平方の定理により d²=12+(6-t)^ "/id=2t²-12t+36 YA MOTUJOLAH P 6 基本形に変 GAA ,J3 x=30 €32 $HAON とりうる値の範囲。 ①点Qのy座標は t-6 UNDOJ =2(t-3)2+18 ① において, d2 は t=3 で最小値 18 をとる。 d0 であるから, d が最小となるときdも最小となる。 よって、3秒後にP, Q間の距離は最小になり, 最小の距離は √18=3√2 2656512=286 基本形に変形。 ←軸 t=3 は ① の範囲内。 この断りは重要!ある

解説の中段　❗️[1]の部分について 先に問題文から2a>0が分かっているのに、答えの範囲として0<aを書く必要はあるのですか？ この場合絶対にa>0成り立ちませんか？

284 基本例題 189 文字係数の関数の最大・最小 88 00000 ただし、 [類関西大] 関数f(x)=x-3ax2+5a0≦x≦3における最小値を求めよ。 a>0とする。 CHART SOLUTION この問題では最小値の候補となる極小値をとるxの値(本問ではx=2a) がαの グラフ利用 極値と端の値に注目 最大･最小 解答 f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) f'(x)=0 とすると x=0, 2a a>0 であるから 2a>0 f(x) の増減表は次のようになる。 0 値によって変わるから, それが区間 0≦x≦3に含まれるかどうかをαの値によ って場合分けする。 [1] 02a≦3 すなわち [1], [2] から f'(x) f(x) 3 ...... + <a をとる。 20 極大 5a³ V 3 2 3 Kas 2 y=f(x)のグラフは右図 [1] のようになる。 よって, 0≦x≦3において, f(x)はx=2aで 最小値f(2a) = α² をとる。 0<a≦ 2a 0 極小 a [2] 3 <2a すなわち y=f(x)のグラフは右図 [2] のようになる。 よって, 0≦x≦3において, f(x)はx=3で 最小値f(3)=5α-27a+27 をとる。 のとき 0<a≦2/2 のとき x=2aで最小値 α, <a のとき += 基本 185 のとき x=3 で最小値 5²-27a +27 <-f(2a) (1) US-DUS =(2a)³-3a(2a)² +50² =8a³-12a³+5a³ =a3 [1] 極小値をとるxの が区間に含まれる場合 [2] 極小値をとるの が区間に含まれない場合 [1] y I 5a³ a () [2] y 5a³-27a+27 15a3 0 2a 3 32a 基本 a>0 (1) £ CHAE 4500 解答 y'=6x y'=0 yの増 また, (1) [ PRACTICE･･・･ 189 ③ をaを用いて表せ。 xの関数f(x)=-x²+ax^²-a の 0≦x≦1における最大値をg(α) とおく。 gall 881273 (岡山大 [2] (2) ④ [2] [3 ① P D

線を引いたところがどうして成り立つのか教えてください。

82 00000 基本例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2) xについての2次方程式x(a-1)x+α+6=0 が次のような解をもつよう な実数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2) 1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 会社 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数kの大小 a-k, β-k の符号から考える (1) 2以上とは2を含むから 等号が入ることに注意する。 a≥2, B≥2 ⇒ (a−2)+(B-2)≥0, (a-2)(B-2) ≥0 (2) a<2<B #tel B<2<a ⇒ (a−2)(B-2) <0S+x(6—0)8+ (+). x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, βとし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α²-6a-23 解と係数の関係により α+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①,②,③ が同 時に成り立つことである。 D≧0 (α-2)+(B-2)≧0 (a-2)(B-2)≥0 ①から a²-6a-23≥0 ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a ②から よって ③から a+B-4≥0 ゆえに (a-1)-4≥0 a ≥5 aβ-2(α+β)+4≧0 GHR ゆえに a+6−2(a-1)+4≧0 よって a≦12 ④,⑤, ⑥ の共通範囲を求めて 3+4√2 ≦a≦12 (2) α<2<β または β<2<α であるための条 件は (a-2)(B-2)<0/ よって α+6−2(a-1)+4<0 PBACTICE 403 p.76 基本事項 5. 3-4√2 これを解いて a>12 linf. 2次関数 f(x)=x²-(a-1)x+α+6 のグラフを利用すると (1) D≧0, ( 軸の位置) ≧2, ƒ(2) ≥0 基本 ¸a−1 ) 2 X= (2) ƒ(2) <0 (p.76 補足 参照) ⑤ 4 5 3+4√2 12 このとき, D>0は成り 立っている。 (p.754 a 25

２つの解なのにD>0としないのはなぜですか？ あと②③で≧0をつけるのがよくわかりません。教えてください🙇‍♂️

82 0000 基本例題 49 2次方程式の解の存在範囲 (2) xについての2次方程式x(a-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよう $HOO な実数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。 (1) 2つの解がともに2以上である。 (2) 1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。 x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を Dとすると 解と係数の関係により D={-(a-1)}2-4(a+6)=α²-6a-23 α+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①,②,③が同 時に成り立つことである。 D≧0 CHART & SOLUTION 実数解 α, β と実数の大小 a-k, β-k の符号から考える (1) 2以上とは2を含むから、 等号が入ることに注意する。 a≥2, B≥2 ⇒ (a−2)+(B-2) ≥0, (a-2)(B-2)≥0] (2) a<2<ß †l B<2<a ⇒ (a−2)(B-2)<0S8+5+x(6-0)5+ 解答 (x-2)+(B-2)≧0 (a-2)(B-2) ≥0 ①から a²-6a-23≥0 ゆえに a≦3-4√2,3+4√2 ≦a (4) ②から ① a+B-4≥0 ゆえに a ≥5 ・・・・・・ (5 aß-2(a+B) +420 よって ③から ゆえに a+6−2(a-1)+4≧0 ④,⑤, ⑥ の共通範囲を求めて 件は よって α+6−2(a-1)+4<0 P RACTICE 49 (a-1)-4≧0 3+4√2 ≦a≦12 (2) α<2<β または β<2<α であるための条 (a-2)(B-2)<0 CECONNA よって a≦12... ⑥ 3-4√2 これを解いて a>12 80 p.76 基本事項 5,基本48 , inf. 2次関数 f(x)=x²-(a-1)x+a+6 このグラフを利用すると (1) D≧0, 10 O ( 軸の位置) ≧2, ƒ(2)≥0 0 EF(2) a-10 2 (2) f(2)<0 (p.76 補足参照) 5 x 5 3+4√2 12 このとき, D>0は成り 立っている。 (p.754 解説参照) ED (