基本例題 41 万有引力による位置エネルギー
ト*196,197
地球の表面から速さ vo で鉛直上方に物体を発射したとき, 到達する最大の高さんを
考える。地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1)万有引力による位置エネルギーを考え, vo をg, R, hで表せ。
(2) んがRに比べて十分に小さいとき, voはどのように表されるか。
(3) vo を大きくすると, 物体は地球上にもどらなくなる。このとき,
voはいくら以上にすればよいか。 g, Rで表せ。
Vo
R
指針 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので, 「GM=gR°」を用いて
9,Rで表す。
解答(1) 物体の質量をmとする。力学的エネルギー保存則より
Mm
1
-mu
2
Mm
G-
R
(G:万有引力定数, M: 地球の質量)
R+h
GMm R+hーR_GMm
R+h
h
R
1-
R+h
GMm|
GMm
R
GMm
R+h
1
-m vo =
2
R
R
R
R+h
2
mv?=R*mn h
R
2gRh
VR+h
gR·m
1
ここで GM=gR° より
よって Vo=,
2
R+h
h
R
2gRh
Voーィ
VR+h
2gh
=/2gh
h
1+
R
(2) んがRに比べて十分に小さいとき, =0 より
(3) 地球上にもどらないようにするには, hが無限遠であればよい。
2gRh
Vo-VR+h
2gR
=2gR
R
+1
h
このとき,
R
-=0 より
h
