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立つ。
並んでいる。 の
3 5
分量を21 (k=1, 2, 3, ...), 分子を正の奇数とする分数が下のように1列に並んでいる。 分母が2の分数はそれぞれ
4'
4'4'
4'8'8'8'
13 15
8'8'8'8'
3
1
7 1 3 5
7
1' 2' 2'
9 11
8'
この数列の第100項は
アイ
ウエ
である。 また、
よって、
この数列の初項から
31
1024
までの和T を求めると, T=
この数列に現れる分数で分母が2k-1 である2k-1 個の分数の総和 Skをkの式で表すと, S=ケ
31
1024
[サシスセ
はこの数列の第 オカキク 項である。やす
ソー
である。
である。
答
...
2m-1
第k群の番目の分数は
A
分母が同じ項を1つのグループと考えて,前から順に第1群, 第2群,
・と呼ぶことにする。 このとき,第ん群には2個の分数が含まれ、
2-1
である。
つい
する
=0
項は,第7群の37番目の項である。
よって、 第100項は
(1)100 (1+ 2 + 4 + 8 + 16 +32) +37 であるから,この数列の第 100
237-1
27-1
73
じ
64
01
第群の分子1,3, 5, 7, 9, ···
は、初項1, 公差の等差数列
であるから, 番目の分数の分
子
1+(m-1)-2=2m-1
る。
また,
して
31
1024
がこの数列の第群の番目の分数であるとすると
31=2m-1 かつ 1024 = 2k-1
1024210
これを解いて
m=16,k=11
31
ゆえに,
がこの数列の第n項であるとすると +
+
1024
01
n = (1+2+22 + 2 + ・・・ + 2) + 16
()の中は初項1,公比2の等
1.(210-1)
2-1
Ea
+ 16 = 1039
比数列の初項から第10項まで
の和である。
6
章
数列
1
Sk=
2k-1
+
3
2k-1
+
5
2k-1
+･･･+
2.2k-1-1
2-1
1
-1
{1+3+5++ (22-1-1)}
1
1
.
2k-1
..2k-1{1+ (2.2k-1-1)}= 2′- 1
31
は第 11 群の16 番目の項であるから,この数列の初項から
1024
(2) 分母を2k-1とする分数は 2-1 個あるから,第ん群の末項の分子は
2.2k-1-1である。 ゆえに
第群の末頃は,第群 24-1
分数であるから,その
分子は m = 2k-1 を代入して
2.2k-1-1である。
1+3+ +... + (2.2k-1-1)
初項 1 公差 2 項数 2-1
の等差数列の和である。
に使う
31
1024
までの和は
T = S + S2 + ･･･ + S10 +
1
+
1024 1024
3
31
+･･･+
1024/
1
=1+2+2+ ･･･ + 2 +
(1+3+5+...+31)
0731-(210-1)
1024
+
2-1
1
1023 +
4
=
1 1
1024 2
4093
4
.
・16(1+31)
1 +2 +2 + ･･･ +2° は,
初項 1,公比2,項数 10 の等比
数列の和であり,
1 +3 +5 + ･･･ + 31 は,
初項1,
31, 項数 16 の等
差数列の和である。
(X)D
(原題
攻略のカギ!
Key
1 群数列は、第群に属する項数と, 第k群の第m項の式を考えよ
①番目のグループ (第群)に属する項数をんの式で表す。
②k番目のグループ (第ん群)を取り出し, その第項をkとの式で表す。
1つの数列をいくつかのグループに分けて, その第n項や和を求めるときは,次の2つのことを考える。
S
147
