マーカーのところがなぜ成り立つのかが分かりません。 qのところに0を代入すると分子が0になるのではないんですか？

122 積分法 【p+1,9-1 p!g! が成り立つことを証明せよ。 69 定積分漸化式 [1] In= asin" xdxについて, In+2 を In で表すと In+2= [ とな L= であることから, I = である. ただし, nは0 以上の整数とし, sinx=1 とする. [2]pg を0以上の整数とし,Ino=fx(1-x)dx とおく。 ただし, x=1, (1-x)=1とする. (1) Ip.o の値を計算せよ. (関西医科大) [2] (1) Ip.o= (2)g≧1のとき, Ipo=Ip+1.9-1 が成り立つことを証明せよ. 0+1 == ①でn=2とすると, 1-3-3-16* ①でn=4とすると, = 3π 4 = 53 5 A= T 32 ①を繰り返し用いて、 積分法 531 1 642 531x 6422 5 =fxdx Ⅰを求めてもよい というように、人を求めないで、一気に 321 .P+1 1 p+1 (上智大) (3) Ip.g= (p+g +1 )! Ip.9= (2)部分積分を行うと, ・積分 7 =√(1-x)dx= 1 = wP+1 p+1 TEL +gにすると、 (3)でこれを用いる そのまま +g+1となり、 (解答) [1] 部分積分を行うと, sin0=0, cos s=0 n+2 In+2= sin 2xdx 2 =0より、 sin'xcosx)は そのまま =0+. x²+(1-x)-1dx == p+1Jo 1p+1.9-1 -SH P+1 p+1 (− q(1-x)-1) dx 微分 は0となる となるので, ・そのまま -積分 +1 sin" x sinxdx= sin' `xCOSx +1 そのまま n+2^ I₁₁ = 次に、を求めると, sinxdxf1dx-11-1 π = = = 2 ①でn=0 とすると, 12= 6= 4-4-4-4 1 22 =(n+1) 2 sin" x cos²x dx =(n+1)Jf sin"x(1-sin'x)dx Cuttin=(n+1)f(sin”x-sin"+2x)dx 微分 sin"+1x=(sinx) *+1であるから,これを (n+1)(sinx)" x (sinx)'= (n+1)sin" x cos x 微分すると, となる =(n+1)*sin" xdx-(n+1)sin+2x dx =(n+1)In-(n+1)In+2 したがって, In+2=(n+1)I-(n+1)In+2 が成り立ち、これを整理すると, (n+2)In+2=(n+1)In i. Int2=n+1In が成り立つ。 Ip.q= = p+1 (3)(*)を繰り返し用いると, p+1 Ip+1,9-1 q 9-1 -Ip+2.9-2 p+1 p+21 q -Ip+1,9-1 9-19-2Ip+3.9-3 p+1 p+2 +31 q p + 1 p +2 +3 (*)・・・ (n+1)sin” x cosx •(−cosx)dx を+1, gg-1とすれば、 D+210120-1 という関係になる. このように, q の値を変えて ( * ) を ( 3 ) で使う 9-1 p+2 Ip +20-29-2 を用いた p+3 g! と表せる q-1 q-2 1 p+g -Ip+9.0 PE (*)を使うごとにLa の 「のと 「ころ」の数が1つずつ小さくなっ ていくが0になると,それ以 上 (*)を使うことはできない。 そ =_9_g-1g-2 p+1 p+2 p+3 1・2・3・・・・・ p!q! 分母に1・2・3 (p+g + 1)! 1 このため, I. が出てきた段階で、 p+g p+q+1 (*) を使った変形はストップする 1-2-3 p. g.g-1g-2 したがって, Ipq= p+1 p+2p+3 1 p+q p+q+1 を補えば, 分母は(p+g+1)! と表せる。 分母だけに補うことはできないので、分子にも補っておく p!q! が成り立つ. (p+g+1)! 1 123

練習2の問題で変数変換を使って解く解き方教えて欲しいです。 答えは48分の7です。

No. Date 練習2] (D={(x)10xy=1,05 llox³dzdy (D={(x,y) 10'≤x-y≤1, os xey≤ 1}) y=xyex 2 lyzx-1 かつ 1y=-x y=-x+1 <xを固定する> かつ y=-x+1 を求める 練習2を実部員 ②1/2=x=1 計算すると... の ↑<yの範囲> y=Aoyox 2つに場合分けする y-A → ⇒-A=y=A Aニス y=-B+1 - y=B-1 J=-x+1 ⇒ y=x-1 ①-x=ysx B-1=g=-1+1 B=Xより ②対によ [ledady=(xdy)de+dy) [lo x² dxdy = f =² ( 1 x x² dy) de + = [² (2)² 2² dg )x + (-2x² + ) dz ・dx-21(ズーズ)dx -2[*] -2(x-³] 484 2 + 24 ―(スーリ

ここ、どうしてxの方ではダメなんですか？？

266 基本 例題 168] 軸の周りの回転体の体積 (1) 0000 「次の回転体の体積Vを求めよ。 x² (1) 楕円 + y2 -=1 をy軸の周りに1回転してできる回転体 9 4 (2) 2曲線 y=x2, y=√x で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してでき る回転体 CHART & SOLUTION 軸の周りの回転体の体積 まず,グラフを 軸の周りの回転体であるから, 断面は円で断面積は x2 p.260 基本事項 3 よって、曲線の方程式をx=g(y) の形(または、直接x2=の形) に変形して V=nSexdy=f(g(y))dy (c<d) を計算する。 x2 + -=1 から x²=9-9 41 7C) 4-2x dx v=x_xdy=2xS(92) dy (1) x=0 とすると y=±2 9 4 よって 2 =29y- (2)y=√x から y=x2 に代入して 3 72 er x=y2 y=y108 1 よって y(y³-1)=0 は実数であるから y=0,1 ゆえに 2 x2=9- 0 3 -2 y x=vy 交点のy座標を求める。 x=y2 0 1 x V=π 1 =πS (y-ydy =π ,2 「y2y5 2 16 PRACTICE 168° =u.x=b で でできる回転体(x+1 a+ 3 =π 10 OS 001

矢印のところなんですけど、地道に展開するしかないですかね、？

000 曲線と めよ。 246,254 面積S1, S2, S3, S を図のように定めると S=S,+S2=Si+(S+S3-2S4) =2S1+S3-2SE S=S"{(-x2+x)-mx}dx =-f "x{x-(1-m)}dx=1/2/3(1-m) 10 {y=mx Ss="{mx-(x2-x)}dx =-Sox{x-(1+m)}dx =1/2(1+m) ya = S₁ S 11+ 1-m y y x S&= =-fix(x-1)dx=1/0 ゆえに S=1/12 (1-m)+1/(1+m- 3 下の * で、 =-—— (m²³-9m³²+3m-1) == S=1/12(m²-6m+1) 2 0<<1の範囲においてS' = 0 とするとm=3-22 Sの増減表から Sが最小になるよ うなの値は m=3-2√2 = S2 を直接計算すると m 0 S' S S3 1+m *** - 3-2√2 *** 0 + 極小 1

四角で囲ったところ意味がわかりません。

本 243 定積分で表された関数の極値 (+1-2) dt の極値を求めよ。 1)=(t-2)dtの極値を求めよ。 00000 基本 24 を求めるには導関数が必要。SSを含むならxで微分に従って、領 式の両辺の関数をxで微分すると f'(x)= dcx (12+t-2)dt=x2+x-2 dx-2 このようにして, 導関数が得られるから, 極値をとるxの値がわかる。 こだし, 極値を求めるときに定積分の計算が必要になる。 その意味では、最初に定積 を計算し, f(x) を求めておいてもよい。 d 文字 (1-2)=x+x-2もをつにかえた 381 =(x+2)(x-1) 0 とすると x+2)(x-1)=0 dx (t)dt=g(x) だけ ( x -2 1 ① 極値 増減表の作成 f'(x) + 0 0 + x=-2, 1 f(x) f(x) の増減表は右 になる。 f(x) 極大 極小 ハナ(1 f(x)=S(1+1-2)dt= [158+120-24] 2 3 ■定積分を計算してf(x) を求める。 10 -2x 3 S(-2)=(-2)+(-2)_2(-2)-1=0 3 2 =-3+2+4-10

黄色いところは何をやっているのか分かりません。。(;;)教えて欲しいです！

重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積(2) 媒介変数によって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 YA x 基本156 CHART & SOLUTION 基本例題156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 y Y2 右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな る点を B(t=to で x 座標が最大になるとする), t=πのと きの点をCとする。 S B A -3 O 1₁ x Xo この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり, 軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線AB を y, 曲線 BC を y2 とすると,求め る面積Sは t=π t=0 ●t=to 曲線が往復 している区間 s=Sydx-Sy yidx と表される。 よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 解答 図から, 0≦t≦↑ では常に y≥0 また y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost =2sint(1-costするど よって, y=0 とすると sint=0 または cost=1 24 0≤t≤ x 5 t=0,0-(D)\\ 次に, x=2cost-cos 2t から 7 dx =-2sint+2sin2t dt xh (bala-nia) Daia inf. 0≤ts D sint≧0, cost ≦1 から y=2sint(1-cost)≧0 としても,y≧0 がわかる。 455-25 =-2sint+2(2sintcost)_(n)\ =2sint(2cost-1) 0<t<πにおいて dx dt -= 0 とすると, sint>0 で あるから π t 0 π |3| cost= 201 ゆえに dx t= J3 dt + よって、xの値の増減は右の表のようになる。 x 1 →>>> 032 ↑ P -3

どうしてマーカーのところ=の符号が無いんですか？

基本 例題 156 媒介変数表示の 曲線 x=a(t+sint), y=a(1-cost) (2) とx軸で囲まれた部分の 面積Sを求めよ。 ただし, a>0 とする。 CHART & SOLUTION x=f(t), y=g(t) で表された曲線と面積 ① 曲線とx軸の共有点のx座標 ( y = 0 となるt の値) を求める。 (2 tの値の変化に伴うxの変化やyの符号を調べる。 面積を定積分で表す。 計算の際は,次の置換積分法を用いる。 s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(x), b=f(B) 重要 89.242 基本事項 t=0 のとき x = 0, 解答 0≤t≤2π ...... ① の範囲で y = 0 となるtの値は, 1-cost=0 から t=0, 2π t=2のとき x=2na t 0 π 2π dx x=a(t+sint) から =a(1+cost) dt y=a(1-cost) から dy-asint x ② dy 20 dt y 012a dx dt + 0 + 0 -> πa → 2ла + → 0 dt +1-=(2)\ 0<t<2 の範囲で dy - = 0 とすると t=π dt よって, x, yの値の変化は右上のようになり, 2a (x)\ t=2 dx 0<t<2 のとき -≧0, ① のとき y≧0 である。 0 πa 2nax dt t=0 ゆえに、この曲線の概形は右の図のようになる。 ②より, dx=α(1+cost) dt であるから, 求める面積Sは s="ydx=S"a(1-cost)・a(1+cost)dt ( 2 dt-1-(-)- =a*f""(1-cost) dt=a*f" "sin'tdt(x)=ーー 20 521-cos 2t dt=[t-sin21] = 20 置換積分により,tの積 分に直す x との対応 は次のようになる。 2x Jo 2 曲 0→2na 0→2π 0≦t≦2π では y≧0 であり, 曲線はx軸の上側にあるから,グラフをかかずに,積 ▼間と上下関係から面積を計算してもよい。 ただし, 重要例題160 のように,xの でないこともあるので注意が必要である。

数III積分です ラインを引いたところがどうしてこうなるのか分かりません💦

X 0 0 1 > 0 70 2 x=cos40より dx=-4cos³0 sin 0 do よって s = √ √ √ y d x = sin 10 (-4cos³0 sin 0) də =-4 sin 50 cos³ 0 do HP = 4√²* sin 50 (1 − sin²0) cos 0 de #P =4(sin 50 - sin70)coso de 1/2 #2 =4S (sin50-sin70)(sin 0)'de sin 60 sin 80 KA = 4 = 6 8

この問題なのですが答えが1/2になるのですが3/2になってしまいます。どこが間違っているのかを教えてください。

次の図形の面積を求めよ. (1) 曲線y=x(x-1)(x-2)と軸で囲まれた図形

見にくくてすみません、（3）についてですが、なぜ定積分の範囲を０から4πから、０から2πにしていいのでしょうか。回答よろしくお願いします！

7 サイクロイド型 半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき 円板上の点Pの描く曲線Cを考える。 円板の中心の最初の位置を (02), 点Pの最初の位置を (0, 1) とする. (1) 円板がその中心のまわりに回転した角を0とするとき,Pの座標は(20-sin0, 2-cose)で 与えられることを示せ. 善さ (お茶の水女子大 理/右ページに続く)