この問題で矢印のところがわかりません。 教えてください🙇‍♀️

基本 例題 31 an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=3, an+1=2an-n CHART & SOLUTION 漸化式 α+1=pan+(nの1次式)(カキ1) A 00000 ① 階差数列の利用 ② an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形 ②の変形については右ページのズーム UP を参照。 下の解答は1の方針による解法で,別解は2の方針による解法である。 解答 基本 29 30 辺々引いて an+2=2an+1-(n+1), an+1=2an-n an+2-an+1=2(an+1-an)-1 bn=an-an とおくと 6+1=26-1 ...... ① また b1=a2-α= (2・3-1)-3=2 ①から bn+1-1=2(6-1) 更に b1-1=1 ゆえに、数列{bm-1}は初項1, 公比2の等比数列となり bm-1=1・2月-1 すなわち 6n=2"-1+1 よって, n≧2 のとき n-1 an=a1+(2-1+1)=3+ k=1 =2"-1+n+1 2-1-1 2-1+(n-1) a = 3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって α=21+n+1 別解 an+1=2ann を変形すると 与えられた漸化式で n+1とおく。 α=2α-1 を解くと a=1 inf. bn=2"-1+1 を求め した後は an+1=2ann lan+1-an=2"-1+1 から αn+1 を消去して an=2"-1+n+1 と求めてもよい。 ← n=1 とすると 2°+1+1=3 an+1-(n+2)=2{an-(n+1)} また a₁-(1+1)=3-2=1 この変形については右 ページのズーム UP を 参照。 ゆえに、数列{an- (n+1)} は,初項1 公比2の等比数列 となり an-(n+1)=1・2"-1 したがって α=2"+n+1

この問題で、黄色マーカーを引いているところがわかりません。 また、1枚目の画像の解き方はなぜ違うのか教えてください！

(n+2) An = (n-1) au- (n≥2) {(n+1)+2 ante = {(n+1)||an (n+3) anti-nan Auti = nan h+3 解① anti n+3 = nan Anti = = Kan 3 + nan 31 nan (1+2) 1/1 // =bnとすると an an but1 = (1+n) bu = 数列{6}は、初項/3/2、公比(12)の 等比数列だから、 An= au = 3 n- bn = 1 / (1 + ~ ²) ^-1 ba 2 2 > 3 (1+)-1

数学Bの数列の問題です 解き方がわからないので教えて頂きたいです！

数列{an} の初項から第n項までの和 Sm が次のように与えられているとき,この数列の一般項を求め (1) Sn=2n+1 (2) Sn=n3 (3) Sn=1-(-2)”

漸化式の問題です。どうしてこの2つの漸化式が成り立つのかわからないです。そもそもanが何の数列を指しているのかもわかりません。この２つの漸化式が立てられたら後はわかるので大丈夫です。どうかわかりやすくお願いします。

478 ONESA 重要 例題 43 隣接3項間の漸化式 (3) X 00000 n段(n は自然数)ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,この階段の がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。 基本41 指針 数列{a} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のときn段に達する 直前の動 作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法 [2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法 の2つの方法がある。 このように考えて、まず隣接3項間の漸化式を導く。 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが,ここでは 特性方程式の解α,βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらくに扱う ためには,文字α βのままできるだけ進めて、 最後に値に直すとよい。 |n=2 a=1, a2=2である。 解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の 場合がある。 2段 an通り [1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく [2] 最後が2段上がりのとき、 場合の数は (n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく an通り [1] 最後に1段上がる n FX | (n-1) 段 よって 参考 フィボナ ある月 新たに まれた ろうか 月末の 1. となり 漸化式 a= この {az} かる ①で 題 4 [2] 最後に2段上がる ここまで an-1 通り an=an-1+an-2(n≧3) (-2) 段 (*) n段 (n-1) 段 ここまで an-2 通り an= 17 ない 和の法則 (数学A) ... この漸化式は,αn+2=an+1+an (n≧1) ･･･ ①と同値である。 x2=x+1の2つの解をα,β(a<β) とすると, 解と係数の 関係から ①から a+β=1, aß=-1 an+2-(a+β)an+1+αßan=0 よって an+2-aan+1=β(an+1-aan), a2-aa=2-α an+2-Ban+1= a(an+1-Ban), az-βa1=2-β ...... (*)でn→n+2 特性方程式 x2-x-1=0の解は x= 1±√5 2 a=1, a2=2 ...... (2 (3 ②から an+1-aan=(2-α)β7-1 ③から ...... (4) <arn-1 an+1-Ban=(2-β)α7-1 (5) ④ ⑤ から (Ba)an=(2-α)β-1-(2-β) an-1 ⑥ an+1を消去。 1-√5 1+√√5 a= B= 2 , 2 であるからβ-α=√5 また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1であるから 2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして よって, ⑥から 1+√5 \n+1 an= 2 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 a1= a2=1, an+2=an+1+3an α, β を値に直す。 2-α, 2-βについて は,α, β の値を直接 代入してもよいが,こ こでは計算を工夫し ている。 [類 北海道大] 2-B=a² 1-√√5 練習 ④ 43 な

この問題の(2)で2枚目の写真の矢印の所を見てもらいたいんですけど、どうやってこの形になるのかがわからないです。nに−１をしたのかなと思ったけど右辺のbnがb1になっているし、マイナス5分の1もn−１乗になっているから分からなくなりました。出来ればめちゃめちゃ噛み砕いて途中... Read More

数列{a} を, a₁ = 4, an+1 = -3an+2 (n=1, 2, 3, ...) …) an-2 により定め, b= -3 とおく. an-1 (1)+1をを用いて表せ. (2) 一般項bmを求めよ.

この０<はどこから来てるんですか？n^2/2^nの最小値ならnに4を代入した1じゃないんですか？どうして1<=にしないんですか？

28 — 数学Ⅲ 第3 分数型) と極限 PR nは4以上の整数とする。 ③20 不等式 (1+h)" >1+nh+ n(n-1) h²+ 2 6 2" (1) lim (2) lim n2 ugu n-8 22 与えられた不等式において,h=1 とすると 2">1+n+ n(n-1) n(n-1)(n-2) 2 6 n(n-1) (1) ①から 2"> 2 2nn-1 両辺をnで割ると ここだけでた。 n 2 n-1 lim 2 =∞ であるから (2) ①から 2"> n(n-1)(n-2) mil 2n lim =8 n→ ∞ n n(n-1)(n-2) (h>0)を用いて,次の極限を求めよ。 binf. 与えられた不等式 (1+h)=2 T=0 inCh (二項定理)から得られる。 mil n>0であるから不等 号の向きは変わらない。 an>bnで limb = 0012 ならば liman=8 110 (2) で定められ PR 21 6 Vie <a>6>0のとき 1 6 両辺の逆数をとると 2n n(n-1)(x-2) 2 'n' 6m² 両辺に n' を掛けると 22 n² 6n よって 2n n2-3n+2 2n n(n-1)(n-2) a 言 20 であるから不等 号の向きは変わらない。 (n-1)(n-2) =n2-3n+2 G 6n ここで, lim =lim n→ ∞ n²-3n+2 n→∞ 6 n 3 2 + take (1) n -= 0 であるから n² lim n→∞ n² 2n 2 = 0 はさみうちの原理 a a1=2, an+1= 5an-6 2an-3 (n=1, 2, 3, ･･･) で定められる数列{an} について (1)6m= an-1 an-3 とおくとき,数列{bm} の一般項を求めよ。 (2)一般項 αと極限 liman を求めよ。 n→∞ 5an-6 Lint. 1 liman = α と仮定 (1) bn+1= an+1-1 2an-3 an+1-3 5an-6 1218 5an-6-(2an-3) すると, lim 2 5an-6-32a

（2）の最後の波線で書いてるところの変形がよくわからないので教えてください。 お願いします。

484 重要 例題 46 分数形の漸化式 (1) 00000 4an-9 a1=4, Qn+1= ①によって定められる数列{an} について an-2 76 (1) b=a-α とおく。 ① は α= のとき bm+1= と変形できる。 b+ (2) 数列 {a} の一般項を求めよ。 基本37 指針 分数形の漸化式であるが,分子にも定数の項があるため, p.469 基本例題 37のように 両辺の逆数をとって進めるわけにもいかない。 そこで、誘導に従い, おき換えを利用 して例題 37のタイプの漸化式に帰着させることを目指す。 (1) とおくと, an=bn+αであり, 漸化式から 解答 4 (bm+α)-9 bn+1+α= (b+a)-2 よって bn+1= (4-a)b-(a-3) bm+α-2 の左辺のαを右辺 へ移項し、通分する。 1.bn ここで,a=73とすると bm+1= ② (α-3)=0から。 bn+1 と変形できる。 (2) bx=α-3=1 b0漸化式②の形から すべての自然数nに対して逆数をとるために、 bn>0 ②の両辺の逆数をとると = 11 - 1+ 1 bn+1 b>0 (n≧1) を断る。 <等差数列に帰着。 数列{ // } は初項 1.1.1 -1.公差1の等差数列であるから b₁ 1 3n+1 =n ゆえに a=bm+3= +3= a+(n-1)d bm n n

黄色で囲っている部分がどこからきたのか教えてください。

482 基本例 45 立漸化式 (2) ①①①①① 数列 {an}, {bm} をα=1, b=-1,=546, bn+1=a+b で定めるとき 数列 {an}, {bn} の一般項を求めよ。 指針基本例題 44 (1) と同様に,「等比数列を利用」の方針で進めると,本問では an+1+abn=β(an+αbm) を満たす値の組 (α, β) が1つだけ定まる。 ・基本 36,44 →antab=(a+αb) β の形を導くことができるが,これに=b-b を代入 して αn を消去すると bn+1= (1-α)+(a1+abi)β-1 となり, bm+1=pbn+g" 型の漸化式 (基本例題 36のタイプ) に帰着できる。 なお,「隣接3項間の漸化式に帰着」 の方針でも解ける。 これについては別解 参照。 an+1+abn+1=B (an+abn) ..... ① とすると 解答 5an-4bm+α(a+b)=ßan+aßbm an+1=5an-4bn, よって (5+α)an+(-4+α)bn=βan+aßb･･ これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+α=β, -4+α=aß (*) b1=a+b を代入。 これを解くと α=-2,β=3 ゆえに, ① から an+1-26+1=3(an-20) また, α-261=3から an-26=3.3-1=3" よって an=26n+3" (*) の両辺の係数比較。 まず, β=5+αを -4+α=αBに代入して, βを消去 {an-26m} は初項3,公 比3の等比数列。 これに a=bn+1-bm を代入すると bn+1=36n+3n lan を消去。 両辺を3"+1で割ると bn+1 bn 1 = + 3n+1 3" 3 3 数列{2}は初項/12/1 = -1 == 3 3' 公差 1/3 の等差数列 an+1=pan+g" 型は両 辺を α+1 で割る (p.468 参照)。 であるから bn == 3" したがって --/1/31+(n-1)/13-1/2 an=3"-1(2n-1), bn=3"-1(n-2) -1)・ == a=2h - 7

(2)が分かりません。展開する前の式に戻すやり方がよくわかんないので解説の2行目から分かりません。

1 二項定理 2.0 LO (1)(1+x) の展開式におけるxの項の係数を求めよ。 (2)5Co+ 5C1 +52 + 5C3 + 5C4 +5C5 の値を求めよ。 解法へのアプローチ 二項定理 (a+b)"=nCoan+nCian-16+nCza2b2+... +n Crab'+・・・・・・+nCn-1abn-1+nCnb" を利用して式を展開する。 n, a, b に代入する値を考える。2+(8 解答 (1) 二項定理により, (1+x) の展開式の一般項は 5Cr・15-ㄥx' =5Crx (0≦r≦5) x の項の係数はr=3のときであるから 5C3=5C2= (2)二項定理により 5.4 2.1 = 10 (1+x) = 5Co+5C1x+5C2x2+5C3x3+5C4x4 +5C5x5 と展開することができる。 ここで,x=1とすると (1+ 1) = 5Co+5C1 + 5C2+ 5C3 + 5C4 + 5C5 よって --xをなくして二項係数だけを残 すには,x=1とすればよい。 [1] 無 5Co+5C1+5C2+5C3 + 5C4 + 5C5=25=32

（1）の（ア）で、なぜ線が引いてある所の式で求めることができるのか分からないので教えていただきたいです🙇

20 (1)初項 α,公差 d の等差数列{an} に対して, S=Σak とおく. k=1 (ア) Slo を a, dを用いて表せ. (イ) Slo=-5,S16 = 8 であるとき, a, d の値を求めよ. また, S, S2, S100 の中 で最小の値を求めよ. (2)初項 15,公比2の等比数列を {bm}とし,正の整数nを4で割ったときの余りを cm と する. 次の和を求めよ. (ア) C++ ...... + C40 (1) bic+b2c2++b40C 40 <*>